Домашнее задание
Поскольку ковариация – это величина размерная, то для облегчения оценки степени зависимости случайных величин также используется, лишенный этого недостатка коэффициент корреляции.
Теоретический коэффициент корреляции двух случайных величин определяется отношением их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
.
Коэффициент корреляции – это безразмерная величина, характеризующая тесноту линейной зависимости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:
1) -1 ≤ ρ ≤ 1;
2) ρ = 0, если случайные величины Y и X независимы;
3) если | ρ | = 1, то между случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.
Из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, т.е. равенство ρ = 0. Однако некоррелированность двух случайных величин еще не означает их независимость. (Поскольку между ними может быть нелинейная зависимость, а коэффициент корреляции определяется для линейной зависимости).
Выборочный коэффициент парной корреляции определяется по следующим выражениям:
Задание 5. По данным о годовых темпах прироста продукции рассчитать коэффициент парной корреляции:
Страна |
Занятость (прирост) (х) |
Производительность (прирост) (у) |
Австрия |
2,0 |
4,2 |
Бельгия |
1,5 |
3,9 |
Канада |
2,3 |
1,3 |
Дания |
2,5 |
3,2 |
Франция |
1,9 |
3,8 |
Италия |
4,4 |
4,2 |
Япония |
5,8 |
7,8 |
Нидерланды |
1,9 |
4,1 |
Норвегия |
0,5 |
4,4 |
ФРГ |
2,7 |
4,5 |
Англия |
0,6 |
2,8 |
США |
0,8 |
2,6 |
Задание 7. Определить коэффициент корреляции по двум признакам (расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, % - у и среднедневная заработная плата одного работающего, руб. - х) для семи территорий:
Район |
(у) |
(х) |
Удмуртия |
68,8 |
45,1 |
Свердл. обл |
61,2 |
59,0 |
Башкирия |
59,9 |
57,2 |
Челябинск. обл |
56,7 |
61,8 |
Пермск. обл |
55,0 |
58,8 |
Курганск. обл |
54,3 |
47,2 |
Оренбургск. обл |
49,3 |
55,2 |
Практическое занятие № 2. Парный регрессионный анализ
Линейное
уравнение регрессии
.
Параметры уравнения регрессии находят из системы нормальных уравнений
или
,
.
Выборочная остаточная дисперсии:
.
Оценка дисперсии групповой средней:
.
Доверительный интервал для условного математического ожидания зависимой переменной
,
где tγ.k – критерий Стьюдента, γ – уровень надежности, γ =1- α, α – уровень значимости, k – количество степеней свободы, k=n-m-1, n – количество наблюдений, m – количество факторных переменных.
Дисперсия оценки индивидуального значения
.
Доверительный интервал для индивидуального значения
.
Интервальная оценка коэффициента регрессии
.
Доверительный интервал для дисперсии остатков
,
где
-
критерий Пирсона хи-квадрат.
Задание. Проанализировать зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Y(т) и мощностью пласта Х(м) по данным для n = 10 шахт:
i шахта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
8 |
9 |
8 |
12 |
8 |
12 |
9 |
8 |
9 |
11 |
yi |
6 |
6 |
5 |
10 |
5 |
8 |
5 |
6 |
7 |
10 |
1. Изобразить имеющуюся зависимость в виде поля корреляции – точками на координатной плоскости;
2. Определить параметры уравнения регрессии;
3. Рассчитать парный коэффициент корреляции.
4. Оценить сменную добычу угля на одного рабочего для шахт с мощностью пласта 8 м;
5. Найти 95 % - ные доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений сменной добычи угля на 1 рабочего;
6. Найти с надежностью 0,95 интервальные оценки коэффициента регрессии β1 и дисперсии σ2.