7.3.3. Решение игры в смешанных стратегиях. Чистые и смешанные стратегии

При разных нижней и верхней ценах больший выигрыш достигается, когда применяются не одна единственная чистая стратегия, а комбинированные стратегии, т.е. несколько чистых, чередующихся случайным образом с определенной вероятностью (частотой) P, так называемые смешанные стратегии. При этом цена игры α<= ν<= β.

Используются специальные обозначения для смешанных стратегий, например:

,

,

где p_i и q_i – частоты стратегий Красных и Синих соответственно.

В оптимально смешанную стратегию могут входить не все стратегии. Входящие в решение стратегии называются активными. Если активны все стратегии, то игра полностью усредненная.

7.3.4. Элементарные способы решения игр

в смешанных стратегиях (2х2)

Решение игр mхn, особенно при больших m и n, очень трудная задача. Поэтому пытаются их упростить, сведя к игре 2х2. Пути упрощения могут быть следующие: вычеркивание стратегий дублирующих, заведомо невыгодных, практически мало отличающиеся от других стратегий и доведение матрицы до вида 2хn.

Если придерживаться своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш будет неизменным и равным цене игры ν независимо от того, что делает другой игрок, если только он не выходит за пределы своих активных стратегий.

Пример решения игры 2х2. Издержки измерений на компьютерном рынке представлены в табл. 7.4.

Пусть k_ij – условная доля прибыли посредника (издержек покупателя) при совершении сделки на компьютерном рынке.

Таблица 7.4. Платежная матрица

	Покупатель 1	Покупатель 2
Посредник 1	k11=0,2	k12=0,3	α =0,2
Посредник 2	k21=0,35	k22=0,1
		β =0,3

Значения выбранных величин K_ij учитывают не только денежные и временные затраты, но и косвенно потерю репутации посредника при отказе клиента от недобросовестных услуг, а также неоправданность отказа от части добросовестных услуг покупателем технически неграмотным.

Решение. α = 0,2, β = 0,3. Игра не имеет седловой точки. Тогда в соответствии со свойством оптимальных смешанных стратегий выигрыш от использования посредником оптимальной стратегии S^*_k будет:

k₁₁ p₁+k₂₁ p₂ = ν при использовании покупателем стратегии c₁,

k₁₂ p₁ +k₂₂ p₂= ν при использовании покупателем стратегии c₂,

p₁₊ p₂=1.

Отсюда p₁ = (k₂₂ - k₂₁ )/(k₁₁ + k₂₂ - k₁₂ - k₂₁ ) = 0,71;

p₂ =1- p₁ = 0,29;

ν = 0,24.

При любой стратегии величина ν та же, поэтому k₁₁ q₁ + k₁₂ q₂= ν для k₁.

С учетом того что q₁ + q₂ =1, q₁ = (ν- k₁₁)/( k₁₁ - k₁₂) = 0,6, q₂ = 0,4.

Геометрическая интерпретация этого решения представлена на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Графическое решение игры 2х2 в смешанных стратегиях

7.3.5. Решение игр 2хn

Для любой игры mxn, где m<n, существует решение, в котором с каждой стороны участвует не больше m активных стратегий. Отсюда следует, что у любой игры 2xn есть решение, в котором с каждой стороны участвует не более 2 активных стратегий, то есть любая игра 2xn сводится к игре 2x2.

Для этого строят линии стратегии Синих, выделяют нижнюю границу выигрыша и на ней находят точку N с минимальной ординатой. Линии, пересекающиеся в точке N, представляют 2 активные стратегии.

Аналогично решают задачу mx2, только меняют ролями Красные и Синие и строят верхнюю границу проигрыша.

Если через точку N проходит более двух линий, то в качестве активной можно взять любую из них.

Геометрическая интерпретация решения представлена на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Графическое решение игры 2хn в смешанных стратегиях

7.3.6. Методы решения игр при m>2 и n>2

Геометрическая интерпретация в этом случае не помогает (даже при 3xn – не наглядно). Поэтому применяют 4 пути сведения таких игр к более простым, поддающимся решению рассмотренными выше или другими методами:

1. Объединение некоторых стратегий в смешанные, например из соображений симметрии, и сведение игры к 2xn.

2. Сведение игры к m x m и решение m уравнений.

3. Приближенные методы решения игр путем итерации.

4. Выделение активных стратегий и решение игры методами линейного программирования.

Некоторые из них рассмотрены ниже на конкретных примерах.

Пример 1. Распределение усилий (выбор технической политики) в условиях конкуренции (табл. 7.5).

Красные и Синие конкурируют за рынок в 2-х сферах. Ресурсы Красных – 2 у.е., Синих – 3 у.е. Возможные распределения ресурсов представлены в матрице. Явное преимущество оценивается вероятностью Р = 1 и достигается стороной в той сфере, где она сосредоточивает в 1,5 – 2 раза больше ресурсов или не встретила вообще противодействия конкурентов. При равных вложениях ресурсов (1 против 1 и 2 против 2) в одной сфере победа достается Красным с вероятностями Р₁ и Р₂ соответственно. Цель Красных – завоевать преимущество хотя бы в одной сфере бизнеса.

Таблица 7.5. Платежная матрица

	C1 (3, 0)	C2 (0, 3)	C3 (1, 2)	C4 (2, 1)	Минимум строк
K1 (2,0)	0	1	1	P2	0
K12	0,5	0,5	0,5(1+P2)	0,5(1+P2)	0,5
K2 (0,2)	1	0	P2	1	0
K3 (1,1)	1	1	P1	P1	Р1
Максимум столбцов	1	1	1	1

Из таблицы следует, что α = Р₁; β = 1.

Игра имеет решение в области смешанных стратегий. Из симметрии стратегий К₁ и К₂, С₁ и С₂, С₃ и С₄ следует возможность объединения их в смешанные С₁₂, К₁₂ и С₃₄ с вероятностями p₁ = p_2, q₁ = q₂, q₃ = q_{4 ,} равными 0,5, и с выигрышами, определяемыми как среднее арифметическое из соответствующих строк матрицы. Тогда матрица будет иметь вид

	С12	С34
К12	0,5	0,5+(1+Р2)
К3	1	Р1

Игра 2x2 может быть решена при любых значениях Р₁ и Р₂ , например: при Р₁ = 0,5, Р₂ = 0,75 получим

	С12	С34
К12	0,5	0,875
К3	1	0,5

Решение игры:

0,5-1

= 0,57;

0,5+0,5-1-0,87

Р₁₂=

Р₃ = 1-Р₁₂ = 0,43;

ν = 0,5·0,572+1·0,43 = 0,71;

K₁₂ K₃

0,57 0,47

S^*_k = ;

0,75 - 0,875

= 0,43;

0,5 - 0,875

q₁₂ =

q₃₄ = 1-0,43 = 0,57;

S*_c= ,

то есть для Красных предпочтительно сосредоточение ресурсов в одной сфере, а для Синих – распределение по двум направлениям. Если же 0,5(1+Р₂)<Р₁ (игра имеет седловую точку (К₃, С₃₄), то и Синим и Красным выгодно рассредоточить ресурсы по двум направлениям.

Пример 2. Решить игру 3x3 методом приближенных итераций. Идея метода сводится к следующему. Считается, что противники (конкуренты) на каждую выбранную противоположной стороной стратегию K_i отвечают такой своей чистой стратегией C_j, которая является наихудшей мерой для противника против всех его предыдущих выборов. Эти предыдущие выборы рассматриваются как своеобразная «смешанная стратегия», где чистые стратегии смешаны в пропорциях, соответствующих частоте их применения в прошлом. Аналогично, на каждую новую стратегию Синих C_l Красные отвечают своей стратегией K_m, наихудшей для всех предыдущих выборов Синих. Если такой процесс продолжать достаточно долго, то средний выигрыш, приходящийся на одну партию (однократные осуществления игры), будет стремиться к цене игры, а частоты применения стратегий – к оптимальным частотам. Сходимость метода медленная, но вполне приемлемая для практики. Конкретизация данного метода на числовом примере приведена в подразделе 8.5. Более подробно данный материал изложен в подразделе 8.5, а также в [1].