7.2.2. Распределение требований к надежности

З адача сводится к нахождению H₁, H₂,…, H_n, минимизирующих целевую функцию при ограничениях

; H_i  0; i = 1,n,

что соответствует стандартному виду задачи линейного программирования, решаемой известными способами.

7.3. Методы теории игр в задачах с конфликтными ситуациями

7.3.1. Основные понятия теории игр

Примерами таких задач могут быть:

1. разработка вооружения и его боевого применения;

2. выбор тактики спортивных игр;

3. выбор стратегии (сценария) финансовой политики;

4. выбор линии поведения продавца и покупателя на рынке;

5. исследования издержек измерений на компьютерном рынке;

6. выбор технической политики с учетом конкуренции.

Теорию игр определяют как математическую теорию конфликтных ситуаций, в которых сталкиваются интересы 2-х или более сторон, преследующих разные цели. Будем рассматривать игры только двух участников (К – красные и С – синие), имеющих m и n возможных стратегий К₁, К₂, …, К_m и С₁, C₂,..., С_n, каждой из которых соответствует определенный выигрыш K_j или проигрыш C_j (табл. 7.1). Если K_j известны для каждой пары стратегий, число которых конечно, то игра является полностью определенной и ее условия записываются в виде платежной матрицы m х n, приведенной к нормальной форме.

В качестве иллюстрации приведем пример «Дилемма заключенных», показывающий привлечение преступников к сотрудничеству с полицией (табл. 7.2) за счет снижения наказания при сотрудничестве.

Таблица 7.1. Платежная матрица

	Cтратегии	Синие
Красные		С1	С2	С3	…	…	Сn
	К1	К11	К12	…	…	…	К 1n
	К2	К21	К22	…	…	…	К 2n
	К3	К31	К32	К33	…	…	…
	…	…	…	…	…	…	…
	…	…	…	…	…	…	…
	Кm	Кm1	Кm2	…	….	…	Кmn

Таблица 7.2. Платежная матрица

		Преступник1
Преступник2		сознается	отрицает
	сознается	0	5
	отрицает	5	10

7.3.2. Задача теории игр. Принцип минимакса

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии каж-дого из игроков в конфликтной ситуации. Решить игру – значит найти оптимальные стратегии. Оптимальной называется стратегия, обеспечивающая при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

Для ее реализации необходимо придерживаться принципа – выбирай свое поведение так, чтобы оно было рассчитано на наихудший для тебя образ действий противника. Такой принцип, диктующий каждому игроку выбор своей наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии, носит название минимакса, а стратегии, рекомендуемые этим принципом, – минимаксными.

Пример. Боевые применения оружия

У Красных 2 вида вооружения – К₁ и К₂, у Синих 2 вида помех – С₁ и С₂, K_ij – вероятность поражения цели при различных комбинациях вооружение – помехи. Решить игру при условии, что пользоваться каждому игроку можно только одной стратегией.

Пусть платежная матрица имеет вид (табл. 7.3).

Таблица 7.3. Платежная матрица

	c1	c2	Минимумы строк
k1	0,2	0,8	0,2
k2	0,7	0,3	α =0,3
Максимумы столбцов	β =0,7	0,8

Максимум из минимумов по строкам таблицы называется максимином, или нижней ценой игры (α = 0,3). Это максимальный выигрыш, который может быть гарантированным для одной стратегии.

Минимум из максимумов по столбцам таблицы называется минимаксом, или верхней ценой игры (β = 0,7). Это минимальный проигрыш, на который могут рассчитывать Синие, выбрав одну из своих стратегий в расчете на наихудшую для себя стратегию Красных.

Недостаток минимаксных стратегий – их неустойчивость, проявляющаяся в том, что они могут быть нарушены, если другая сторона раздобудет информацию о действиях своего противника. Исключение составляют игры, для которых α = β.Тогда говорят о чистой цене игры или просто о цене игры и обозначают ее ν. При этом в матрице имеется один или несколько элементов одновременно минимальных в своей строке и максимальных в своем столбце, называемых седловой точкой.