7.1.2. Математическая постановка задачи линейного программирования

В общем случае математическая постановка задачи линейного программирования может быть сформулирована в виде

,

где .

При этом следует принимать во внимание принципиальные предположения о характере целевой функции и левых частей ограничений.

1. Целевая функция f(x₁, x₂, x₃,..., x_п) предполагается линейной относительно всех своих переменных, т.е. может быть представлена в форме .

2. Левые части ограничений являются линейными функциями относительно своих переменных х₁, х₂, ..., х_n, могут быть представлены в форме

.

Переменные х₁, х₂, ..., х_n могут принимать свои значения только из множества неотрицательных действительных чисел , т.е. .

С учетом сделанных предположений общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом. Необходимо найти максимум линейной целевой функции n переменных х₁, х₂, ..., х_n вида

, (7.1)

где множество допустимых альтернатив ∆β формируется системой ограничений типа равенств и неравенств:

. (7.2)

В математической постановке общей задачи линейного программирования через обозначены постоянные величины, которые могут принимать произвольные, не обязательно целочисленные значения, определяемые спецификой конкретной задачи линейного программирования.

З адача минимизации линейной целевой функции при ограничениях типа равенств и неравенств может быть сведена к общей задаче линейного программирования вида (7.1), поскольку f(x) → min эквивалентно f(x) → mах. Именно поэтому, не ограничивая общности, в последующем, говоря о задачах линейного программирования, будем иметь в виду задачи максимизации линейных функций типа (7.1):

В случае отсутствия ограничений типа равенств, т.е. при q = 0, задача линейного программирования называется стандартной задачей линейного программирования, которая с учетом сделанных предположений, может быть записана в виде, где множество допустимых альтернатив ∆β формируется как ограничения типа неравенств:

(7.3)

и х₁, х₂, ..., х_n>0.

С другой стороны, при отсутствии ограничения типа неравенств при q = m задача линейного программирования называется канонической основной задачей линейного программирования, которая с учетом сделанных предположений может быть записана в виде

где множество допустимых альтернатив ∆β формируется системой ограничений типа неравенств:

и х₁, х₂, ..., х_n>0.

Следует заметить, что стандартная задача линейного программирования посредством введения дополнительных переменных может быть сведена к канонической задаче линейного программирования и наоборот. Эти два типа задач отличаются только особенностью своей формулировки, которая, в свою очередь, определяется соображениями удобства формального анализа методов их решения.

При рассмотрении общих особенностей задачи линейного программирования удобной оказывается стандартная форма математической постановки задачи линейного программирования. Анализ множества допустимых альтернатив ∆β стандартной задачи линейного программирования позволяет прийти к выводу о справедливости только одной из возможных ситуаций:

1. Система ограничений (7.3) противоречива или несовместна, т.е. не существует ни одного набора значений х₁, х₂, ..., х_n , которые удовлетворяют ограничениям. В этом случае задача линейного программирования не имеет решения.

2. Система ограничений (7.3) не является противоречивой, однако соответствующая ей область пространства Rⁿ является неограниченной. В этом случае задача линейного программирования не имеет решения, в случае, если линейная функция не ограничена в неограниченной области, соответствующей множеству допустимых альтернатив.

3. Система ограничений (7.3) не является противоречивой, и при этом соответствующая ей область пространства Rⁿ является ограниченной. В этом случае задача линейного программирования имеет решения.

В последней ситуации задача линейного программирования может иметь либо единственное решение, либо континуум решений. Континуум решений имеет место в том случае, когда линейная целевая функция оказывается параллельной функции левой части одного из ограничений. Поскольку прикладной характер настоящей книги не позволяет детально рассмотреть теоретические аспекты анализа задач линейного программирования, заинтересованные в соответствующих вопросах читатели могут обратиться к специальной литературе, список которой приведен в конце книги.