Задания

1. Найти вектор :

а) k = 2,  = (2, –1, 3, 0, 4); г) k = 0,5,  = (2, 3, 4, 0, –1);

б) k = –3,  = (–3, 0, 2, –1, 5); д) k = 2,5,  = (1,5; 2,3; –0,4; –1,2);

в) k = –1,5, = (4, 1, 0, –2, 3); е) k = –1,3,  = (2,1; –1,2; –0,3; 3,4).

2. Найти вектор :

а) k₁ = 2, k₂ = –3,  = (–1, 2, 0, 3, 5),  = (2, –1, –2, 4, –3);

б) k₁ = –1, k₂ = 2,  = (5, –1, 2, –4, 3),  = (2, 0, 3, –2, 5);

в) k₁ = –1,5, k₂ = 2,3,  = (2, 0, –1, –2, 4),  = (1, –2, 0, 3, –4);

г) k₁ = 0,3, k₂ = –2,2,  = (3,1; –1,2; 0; 2,5),  = (0,4; –1,2; –0,5; 3,1).

3. Коллинеарны ли векторы и ?

а)  = (1, 2, 3),  = (–2, –4, 6);

б)  = (2, 0, –1),  = (–4, 0, 2);

в)  = (0, 2, –1, 3),  = (0, –6, 3, –9);

г)  = (1, –2, 3, 2),  = (4, –8, 12, 8).

4. При каких значениях у и z векторы и будут коллинеарными?

а) A(1, 3, 2), B(2, 1, –1), C(3, 2, –2), D(–1, y, z);

б) A(2, y, z), B(–1, 1, 0), C(1, –2, 1), D(0, 2, –1);

в) A(–1, 2, z), B(1, y, 1), C(0, 2, 3), D(5, –2, 1);

г) A(4, 3, 1), B(0, 0, 2), C(3, y, 2), D(–1, 2, z).

5. Зная координаты трех верших параллелограмма АВСD, найти координаты его четвертой вершины:

а) A(2, –1, 3), B(0, 2, 5), C(3, 1, 2);

б) B(–1, –2, 1), C(4, 1, –2), D(5, 4, 2);

в) A(3, 1, 1), C(2, 3, –4), D(–1, 1, 5);

г) A(4, 2, 0), B(3, 0, –4), D(2, –2, 1).

6. Найти координаты середин сторон треугольника АВС:

а) A(2, 1, 1), B(0, 3, 5), C(4, –1, 3);

б) A(1, 2, 3), B(7, 4, –1), C(3, –8, 5).

7. На отрезке АВ найти точку С, делящую отрезок АВ в отношении :

а) A(2, –1, 0), B(5, 2, 3), ; б) A(1, 2, –3), B(6, 7, 2), .

8. Показать, что векторы , и линейно независимы:

а)  = (1, 0, 0),  = (0, 1, 0),  = (0, 0, 1);

б)  = (1, 0, 0),  = (1, 1, 0),  = (1, 1, 1);

в)  = (1, 0, –1, 0),  = (0, 1, 0, 2),  = (1, 2, 3, 4);

г)  = (2, –2, 1, –1),  = (1, 0, 2, 0),  = (0, 2, –2, 0).

9. Вычислить скалярные произведения векторов и :

а)  = (2, –5, 4),  = (3, 1, 5);

б)  = (0, 2, –3),  = (–1, 2, –2);

в)  = (–1, 2, 1, 0),  = (2, 3, –1, 4);

г)  = (3, –1, 4, 3),  = (–1, 3, –3, 2);

д)  = (2, 0, –1, 3, 5),  = (1, 5, 4, 2, 3);

е)  = (1, 2, 0, 3, –1),  = (0, 2, 1, –2, 3).

10. Вычислить скалярные произведения векторов и :

а) , , m = 1, n = 2, ;

б) , , m =  , n = 1, ;

в) , , m = 2, n =  , ;

г) , , m = 1, n = 3, .

11. Есть ли среди векторов ₁, ₂, ₃ и ₄ ортогональные?

а) ₁ = (2, –1, 3, 0), ₂ = (–1, 1, –1, –2), ₃ = (1, –1, –1, 3),

₄ = (2, 1, 1, 0);

б) ₁ = (2, 2, 1, 0), ₂ = (1, –1, 2, 1), ₃ = (0, 1, –1, 1),

₄ = (2, –1, –2, 3);

в) ₁ = (2, 2, 1, 0, 3, –1), ₂ = (–1, 0, 2, 1, –1, 2),

₃ = (2, 3, 1, 2, 2, –4), ₄ = (3, 2, –1, 1, 0, 2).

12. Найти длины векторов:

а)  = (–4, 2, –2, 1); б)  = (4, 3, –3, 1);

в)  = (3, –1, 1, –1, 2); г)  = (–1, 1, 2, –3, 3, –6);

д)  = (–1, 3, –1, –3, 0, 3, 5).

13. Найти угол между векторами и :

а)  = (0, 1, –1, 0, 1, 1),  = (1, 3, 1, 1, 2, 0);

б)  = (3, 2, 1, 1, 1, 0),  = (2, 1, –1, 1, 0, –1).

14. Найти длины сторон и угол А треугольника АВС:

а) A(3, 1, 2), B(5, –1, 3), C(3, 0, 3);

б) A(–1, 2, –2), B(1, 2, 0), C(–1, 1, –1);

в) A(2, 2, –1), B(2, 5, –1), C(6, 2, –1);

г) A(0, 1, 2), B(2, –1, 3), C(0, 2, 1).

15. На оси 0z найти точку, равноудаленную от точек А и В:

а) A(1, –2, 1), B(2, 1, 5); б) A(3, –1, 4), B(1, 3, –2).

16. Вычислить векторное произведение векторов и :

а)  = (1, 2, 3),  = (–2, 1, 4); б)  = (2, –3, 1),  = (0, 2, –3);

в)  = (1, –1, 2),  = (–3, 3, –6); г)  = (2, 0, –3),  = (–4, 0, 6).

17. Вычислить векторное произведение векторов и :

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

18. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

а)  = (1, 2, –4),  = (3, 0, 1); б)  = (1, –3, 1),  = (2, –1, 3);

в)  = (2, –3, 5),  = (1, –1, 3); г)  = (3, –1, 5),  = (2, –1, 3).

19. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и :

а) , , m = 1, n = 1, ;

б) , , m = 1, n = 2, ;

в) , , m = 2, n = 1, ;

г) , , m = 3, n = 2, .

20. Найти площадь треугольника АВС, зная координаты его вершин:

а) A(3, 4, –1), B(–1, 1, 2), C(2, 0, –5);

б) A(–1, 2, 3), B(2, 1, 5), C(–7, 3, 4);

в) A(–1, 0, –1), B(0, 2, –3), C(4, 4, 1);

г) A(–3, 5, –4), B(2, 0, 3), C(3, 4, –1).

21. Найти объем пирамиды, зная координаты ее вершин:

а) A(3, –1, 2), B(2, 2, 0), C(–2, 3, 4), D(1, 1, 8);

б) A(4, 5, 2), B(3, 0, 1), C(–1, 4, 2), D(5, 7, 8);

в) A(1, 3, 5), B(0, 2, 0), C(5, 7, 9), D(0, 4, 6);

г) A(3, 1, –2), B(–4, 0, 3), C(1, 5, –1), D(1, –1, 1).

22. Компланарны ли векторы , , :

а)  = (2, –1, 3),  = (3, 4, 2),  = (1, 2, 3);

б)  = (4, –2, 6),  = (1, 4, 2),  = (1, 4, 2);

в)  = (1, 1, –1),  = (1, 0, 1),  = (4, 1, 2);

г)  = (2, 1, 0),  = (1, 3, 1),  = (3, 1, –1)?

23. При каком значении х векторы , , будут компланарными:

а)  = (х, 1, 2),  = (2, –5, 4),  = (3, 2, –3);

б)  = (–1, 3, 2),  = (3, х, 0),  = (1, –1, 2);

в)  = (0, 1, –1),  = (1, –1, 2),  = (2, х, 3)?

24. Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости?

а) A(1, 1, 2), B(3, –2, 4), C(–5, 2, 4), D(3, 3, –1);

б) A(0, 1, –1), B(1, –1, 2), C(3, 1, 0), D(2, 0, 1);

в) A(2, 7, –3), B(1, 0, 3), C(–3, –4, 5), D(–2, 3, –4).

25. При каком значении точки А, В, С и D лежат в одной плоскости?

а) A( , 1, –2), B(–3, 4, 1), C(1, 5, 2), D(2, 2, –5);

б) A(–1, 1, 2), B(1,  , –1), C(0, 3, 1), D(2, 4, –2);

в) A(2, 1, 3), B(5, 3, 2), C(6, 0,  ), D(3, –2, 0);

г) A(–1, 2, 3), B(3, 1, 2), C(1, 5, –2), D(2,  , 0).