Хід роботи:
Побудувати k+ - спіраль, де k = 50.
-
150
149
148
147
146
145
144
143
142
141
140
151
114
113
112
111
110
109
108
107
106
139
152
115
86
85
84
83
82
81
80
105
138
153
116
87
66
65
64
63
62
79
104
137
154
117
88
67
54
53
52
61
78
103
136
155
118
89
68
55
50
51
60
77
102
135
156
119
90
69
56
57
58
59
76
101
134
157
120
91
70
71
72
73
74
75
100
133
158
121
92
93
94
95
96
97
98
99
132
159
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
Знаходження залежності:
Випишемо ряд чисел 50 51 60 77 102
Знайдемо їхню різницю 1 9 17 25
Знайдемо другу різницю 8 8 8
З наведених вище міркувань справедливо записати наступну формулу для знаходження 3-го елемента послідовності (в даному випадку 60), маючи перші 2 елементи: аn+1--аn+8+аn+1=2*аn+1--аn+8, де аn+1, аn+2 – перший та другий елементи послідовності.
Отже отримаємо:
аn+2= 2*аn+1--аn+8
аn+3= 2*аn+2--аn+1+8, підставивши замість аn+2 верхню формулу отримаємо:
аn+3= 2*(2*аn+1--аn+8)--аn+1+8=4*аn+1--2*аn+2*8--аn+1+8=3*аn+1--2*аn+3*8
аn+4=2*аn+3--аn+2+8=2*(3*аn+1--2*аn+3*8)--(2*аn+1--аn+8)+8=4*аn+1--3*аn+6*8
аn+5= 2*аn+4--аn+3+8=2*(4*аn+1--3*аn+6*8)--(3*аn+1--2*аn+3*8)+8=5*аn+1--4*аn+10*8
Узагальнивши написане, отримаємо формулу:
аn= (n-1)*a2--(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1),
Де n – номер позиції елементу, який ми шукаємо,
a1 – перший елемент послідовності,
a2 – другий елемент послідовності.
За допомогою знайденої формули знайдемо кілька елементів заданої спіралі.
Знайдемо 6-ий нижній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 170:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*58-4*50+8*(36/2-3*6/2+1)=290-200+80= 158
Знайдемо 5-ий верхній елемент головної діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 114:
а5=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=4*56-3*50+8*(25/2-3*5/2+1)=224-150+48=114
Знайдемо 4-ий верхній елемент вертикалі, який згідно спіралі дорівнює 83:
а4=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=3*53-2*50+8*(16/2-12/2+1)=159-100+24=83
Знайдемо 6-ий елемент горизонталі, який знаходиться справа від центру спіралі і який дорівнює 135:
а6=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=5*51-4*50+8*(36/2-3*6/2+1)=225-200+80=135
Знайдемо 4-ий елемент діагоналі, який згідно спіралі дорівнює 92:
а4=(n-1)*a2-(n-2)*a1+8*(1/2*n2-3/2*n+1)=3*56-2*50+8*(16/2-3*4/2+1)=168-100+24=92
Приклад №7