Хід роботи:

Знайти аналітичні вирази двох головних піддіагоналей і двох бічних піддіагоналей числової спіралі з центром 67.

Виконання

131	130	129	128	127	126	125	124	123
132	103	102	101	100	99	98	97	122
133	104	83	82	81	80	79	96	121
134	105	84	71	70	69	78	95	120
135	106	85	72	67	68	77	94	119
136	107	86	73	74	75	76	93	118
137	108	87	88	89	90	91	92	117
138	109	110	111	112	113	114	115	116
139	140	141	142	143	144	145	146	147

Закономірності появиі можна описати за такими формулами:

1. ; де

2. ; де

3. ; де

4. ; де

де n – номер квадрату (номер числа на будь-якій піддіагоналі).

1.

2.

3.

4.

Будемо розглядати квадратний многочлен виду: .

Розглянемо числа одної з піддіагоналей (4) числової спіралі з центром 1, а саме: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169… Ми бачимо, що кожне число є результатом піднесення до квадрату послідовності чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1:

1=1*1,

9=3*3,

25=5*5,

49=7*7,

81=9*9,

121=11*11 і так далі.

Тобто, можна записати, що , де .

Підставивши в , одержимо:

.

Розглянемо тепер іншу піддіагональ (3): 1, 7, 21, 43, 73, 111… Методом підбору було виявлено, що для того, щоб отримати якесь число на цій піддіагоналі потрібно використати квадратний многочлен виду: :

1=0*0+0+1

7=2*2+2+1

21=4*4+4+1

43=6*6+6+1

73=8*8+8+1…

Отже, наш х змінюється таким чином: 0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n-2, де n – номер квадрату.

Підставивши х в квадратний многочлен одержимо остаточну формулу:

.

Аналогічно були підібрані формули і для інших піддіагоналей:

1.

2.

Оскільки, моя спіраль починається із числа 67, то потрібно до кожної формули додати число 66. Звідси і були отримані ці формули.

Спосіб 2.

67 69 79 97 123

2 10 18 26 =>

8 8 8 d d

Ми бачимо, що друга різниця =8, тобто const. Будемо розглядати квадратний многочлен: . Для нашого прикладу:

Обчислюємо першу різницю:

R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B

R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B

Обчислюємо другу різницю:

d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8

A=8/2=4.

Шукаємо інші коефіцієнти:

B+C=67-4=63

2B+C=69-4*4=53

B=-10; C=73.

Аналогічні обчислення робимо і для інших піддіагоналей.

Отже, отримуємо:

1.

2.

3.

4.

Для перевірки знайдемо п’яте число у кожній з піддіагоналей:

1.

2.

3.

4.

Приклад №14