Хід роботи:

Знайти аналітичні вирази двох головних піддіагоналей і двох бічних піддіагоналей числової спіралі з центром 64.

Виконання

128	127	126	125	124	123	122	121	120
129	100	99	98	97	96	95	94	119
130	101	80	79	78	77	76	93	118
131	102	81	68	67	66	75	92	117
132	103	82	69	64	65	74	91	116
133	104	83	70	71	72	73	90	115
134	105	84	85	86	87	88	89	114
135	106	107	108	109	110	111	112	113
136	137	138	139	140	141	142	143	144

Розташувавши числа по спіралі, можемо знайти закономірності їх появи, які можна описати за такими формулами:

1. ; де

2. ; де

3. ; де

4. ; де

де n – номер квадрату (номер числа на будь-якій піддіагоналі).

1.

2.

3.

4.

Будемо розглядати квадратний многочлен виду: .

Розглянемо числа одної з піддіагоналей (4) числової спіралі з центром 1, а саме: 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169… Ми бачимо, що кожне число є результатом піднесення до квадрату послідовності чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 2n-1:

1=1*1,

9=3*3,

25=5*5,

49=7*7,

81=9*9,

121=11*11 і так далі.

Тобто, можна записати, що , де .

Підставивши в , одержимо:

.

Розглянемо тепер іншу піддіагональ (3): 1, 7, 21, 43, 73, 111… Методом підбору було виявлено, що для того, щоб отримати якесь число на цій піддіагоналі потрібно використати квадратний многочлен виду: :

1=0*0+0+1

7=2*2+2+1

21=4*4+4+1

43=6*6+6+1

73=8*8+8+1…

Отже, х змінюється таким чином: 0, 2, 4, 6, 8, 10,…, 2n-2, де n – номер квадрату.

Підставивши х в квадратний многочлен одержимо остаточну формулу:

.

Аналогічно були підібрані формули і для інших піддіагоналей:

1.

2.

Оскільки, моя спіраль починається із числа 64, то потрібно до кожної формули додати число 63. Звідси і були отримані ці формули.

Спосіб 2.

64 66 76 94 120

2 10 18 26 =>

8 8 8 d d

Ми бачимо, що друга різниця =8, тобто const. Будемо розглядати квадратний многочлен: . Для нашого прикладу:

Обчислюємо першу різницю:

R1=(4A+2B+C)-(A+B+C) = 3A+B

R2=(9A+3B+C)-(4A+2B+C) = 5A+B

Обчислюємо другу різницю:

d=(5A+B)-(3A+B)=2A=8

A=8/2=4.

Шукаємо інші коефіцієнти:

B+C=64-4=60

2B+C=66-4*4=50

B=-10; C=70.

Аналогічні обчислення робимо і для інших піддіагоналей.

Отже, отримуємо:

1.

2.

3.

4.

Для перевірки знайдемо п’яте число у кожній з піддіагоналей:

1.

2.

3.

4.

Приклад №13