5.2. Оценка случайной погрешности

Теперь надо ответить на вопрос: чему равна случайная погрешность _сл полученной выше величины Х_ср?

В теории погрешностей показано, что в качестве оценки случайной погрешности _сл среднего арифметического значения Х_ср следует брать так называемое среднее квадратическое отклонение , которое вычисляется по формуле:

                (2)

Очень важной особенностью этой формулы является то, что определяемая величина случайной погрешности  уменьшается при увеличении числа измерений n. (Систематическая погрешность этим свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества повторных измерений.

Эта величина погрешности определяет тот интервал, внутрь которого попадает истинное значение измеренной величины с определённой вероятностью Р. Чему же равна эта так называемая доверительная вероятность?

Теория погрешностей показывает, что для большого количества измерений n30, если случайную погрешность принять равной среднему квадратическому отклонению _сл=, то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве оценки случайной погрешности взять удвоенное значение _сл=2, то внутрь этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных измерениях попадать с доверительной вероятностью Р = 0,95, для интервала _сл=3   вероятность Р=0,997 (рис. 2.)

В интервал 1 (см. рис. 2) истинное значение величины Х может попасть с вероятностью Р=0,68, в интервал 2 - с вероятностью Р=0,95, в интервал 3 - с вероятностью Р=0,997.

Какой же оценкой для случайной погрешности следует пользоваться? Для измерений, которые проводятся с учебными целями, достаточно в качестве оценки _сл брать  , для которой Р=0,68. Для научных измерений обычно используют оценку _сл=2  с  Р=0,95. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве оценки случайной погрешности берут 3 , для которой Р=0,997.

В лабораторных работах можно брать в качестве оценки случайной погрешности _сл величину  , для которой доверительная вероятность Р=0,68.

6. Суммирование погрешностей

Общая абсолютная погрешность измерения  всегда содержит две составляющие: систематическую погрешность _с и случайную погрешность _сл

 =

с

сл

Можно оценить величину _с (п.4) и отдельно оценить величину  (п.5). Как после этого найти суммарную погрешность?

Общая абсолютная погрешность находится по формуле

                                 (3)

Сложение погрешностей можно интерпретировать и графически (рис.3). Общая погрешность  равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются _с и _сл

Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (3) можно и не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например _с, в 2 раза меньше, чем другая _сл.   Тогда, согласно формуле (3),

Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем случайная. То есть если бы систематической погрешности вообще не было, то в нашем примере это мало бы повлияло на общую абсолютную погрешность. Теперь учтем, что погрешность редко удается оценить с точностью лучше чем 10-20%, тогда в нашем случае можно положить =_сл, то есть систематической погрешностью _с можно вообще пренебречь.

Из сказанного вытекают следующие правила измерений:

1. Если систематическая погрешность в два и более раз больше, чем случайная, то случайной погрешностью можно пренебречь; большое количество измерений при этом проводить нецелесообразно, так как _с не уменьшается при увеличении n. Итак, если _с _сл, то _с (при этом достаточно провести три-четыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания прибора повторяются без случайных отклонений).

2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает систематическую, то систематической погрешностью можно пренебречь, то есть если _сл_с, то _сл (желательно провести побольше измерений для уменьшения _сл).

3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы, то следует их суммировать по формуле (3) или графически по рис.3. (Количество измерений целесообразно увеличить для уменьшения _сл и перехода к случаю 1.

Принимая во внимание, что вместо _сл можно взять её оценку , то формула (3) примет вид:

На схеме (рис.4) обобщены методы определения погрешности при прямых измерениях.

Рис.4 Схема определения погрешности прямых измерений