Интегрирование по частям

Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула

или

З а м е ч а н и е : формулу Ньютона – Лейбница надо применить дважды: для произведения и, после того, как мы возьмем интеграл .

4. Найти

Решение:

5.

З а м е ч а н и е: Рассмотрим второй способ решения:

Iэтап находим неопределенный интеграл:

II этап. Проверка правильности интегрирования (можно на черновике)

Получена исходная функция, следовательно первообразная найдена верна.

IIIэтап - применяем формулу Ньютона –Лейбница.

Применяя поэтапное решение, большая возможность не совершить ошибки!

6.

1.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этом f(x) на этом отрезке, то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

_Рис.2

Замечания:

1. Если же на , то – f(х) на этом отрезке. Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

_Рис.3.

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

Рис.4.

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=₂(y), слева – графиком функции x₁=₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

_Рис.5.

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. Определенный интеграл – это число.

С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

Определенному интегралу) если он существует)геометрически соответствует площадь некоторой фигуры.

Примеры.

1.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции

y = sinx и осью абсцисс при условии .

З а м е ч а н и е. Важный момент решения –построение чертежа!

Алгоритм построения чертежа:

1шаг. Построить все прямые;

2 шаг. Только потом строить графики других функций, выгоднее их строить точечно;

3 шаг. После того, как чертеж поострен, прикинуть, как найти пределы интегрирования: по чертежу или аналитически.

Решение:

1.Выполним чертеж

Рис.1.6.

Разобьём отрезок на два отрезка: и . На первом из них sinx , на втором sinx . Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

Ответ:4

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

Решение: 1. Выполним чертеж:

Рис.1.7.

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то ее площадь можно найти по формуле:

Ответ:

3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:1. Построим чертеж

Рис.1.8.

Н а п о м и н а н и е: сначала строим прямую и только потом – параболу.

Определение: Если на отрезке некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x) , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

В нашем примере на отрезке [0,3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть –x.

Воспользуемся формулой , откуда имеем:

Ответ: .

4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

1.Выполним чертеж.

Рис.1.9.

Внимательно смотрим на условие - чем ограниченна фигура! На рисунке фигура заштрихована более крупно.

Наша фигура состоит из двух криволинейных трапеций:

1. На отрезке[-1,1] над осью OX расположен график ;

2. На отрезке [1,3]над осью OX расположен график гиперболы .

Поэтому площадь криволинейной трапеции состоит из двух площадей, поэтому:

Ответ: .

5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Выразим в функциях y через x:

Построим чертеж

Рис.1.10.

На чертеже видно, что целым числом выражен только верхний предел, b=1, но нижний предел точно по чертежу определить сложно, поэтому определим его аналитически. Для этого решим уравнение:

Рассмотрим отрезок где,

По формуле имеем:

Ответ:

Вычисление объёмов

Е сли тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x) ( ), осью Ох и прямыми x=a, x=b (a<b), то

или

Рис.7.

Рис.8.

Вокруг Оу:

1 . Найти объем тела, полученного вращением y=tgx вокруг оси Ox, .

Рис.1.9.

Решение: Как и при решении задач на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. ТО есть на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченные линиями, далее используем формулу вычисления объема тела . Плоская фигура ограничена графиком функции , это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

.

Ответ:

В ответе всегда необходимо указывать размерность кубические единицы .

2.Вычислить объем тела, полученный при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченный линиями

Решение:1 шаг. Изобразим чертеж

Рис. 1.10.

Внимательно изучаем условие и определяем, что искомая фигура представляет собой заштрихованную часть, отсюда следует, что объем тела вращения получаем как разность объемов тел.

Используем стандартную формулу вычисления объема тела вращения

2 шаг. Вычислим объем тела вращения, ограниченный сверху прямой

3 шаг. Вычислим объем тела вращения ограниченный сверху прямой

4 шаг. Найдем объем искомого тела вращения

Ответ: .

3.Вычислить объем фигуры, ограниченный линиями , который получен вращением плоской фигуры вокруг оси OY.

Решение: 1 шаг. Построим чертеж, для этого выразим x через y, получим: ,

Рис. 1.11.

2 шаг. Посмотрим на ось OY, нужная нам фигура лежит на отрезке [2,5] и прямая лежит выше прямой , поэтому воспользуемся формулой

3 шаг. Рассмотрим на чертеже необходимую фигуру вращения и делаем вывод, что искомая фигура состоит из разности двух тел вращения, ограниченные функциями и

4 шаг. Найдем объем тела вращения

5 шаг. Найдем объем тела вращения

6 шаг. Найдем искомую фигуру тела вращения:

Ответ: