1.1.3 Определённый интеграл, его свойства
Мы изучили неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных заданной функции. Теперь настала пора познакомиться с понятием определенного интеграла, потребность в изучении которого возникла в связи с необходимостью решать геометрические и физические задачи. Помимо этого, дальше в пособии мы встретимся с двойными, тройными, криволинейными интегралами; а еще в математике встречаются однокоренные понятия, такие как «интегральные кривые», «интегральные многообразия», «интегральные преобразования» и т.д. Общий корень всех этих математических терминов произошел от латинского ”integratio” = «восстановление,возобновление», и впервые был предложен Я. Бернулли в 1690 году (правда,пальму его первенства оспаривал другой представитель той же семьи − И. Бернулли).
Пусть на отрезке
задана функция y=f(x).
Разобьем отрезок
на n
элементарных отрезков точками
.
На каждом отрезке
разбиения выберем некоторую точку
и положим
,
где
.
Сумму вида
будем называть
интегральной
суммой
для функции y=f(x)
на
.
Очевидно, что интегральная сумма зависит
как от способа разбиения отрезка
точками
,
так и от выбора точек
на каждом из отрезков разбиения
,
.
Рис.1
Если существует
предел
,
не зависящий от способа разбиения
отрезка
и выбора точек
,
то этот предел будем называть определённым
интегралом
функции f(x)
на отрезке
и обозначать
символом
т.е.
Функция f(x)
в этом случае называется интегрируемой
на отрезке
.
При этом f(x)
называется подынтегральной
функцией, f(x)dx
– подынтегральным
выражением, а
числа a
и b
– пределами
интегрирования (a
– нижний предел, b
– верхний предел), а сумма
– интегральной
суммой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где a<c<b.
6. Теорема об оценке интеграла
Если
для
,
тогда значения интеграла от этой функции
не менее произведения m
на длину отрезка и не более произведения
M
на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении
Если f(x)
непрерывна на отрезке
,
то существует такое значение
,
что f(x0)=fср
– среднее значение f
на отрезке.
1.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Например,
=
Методы решения определенного интеграла
Для того, чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:
1.Уметь находить неопределенные интегралы.
2. Уметь вычислять определенный интеграл.
Надо помнить, что определенный интеграл - это ЧИСЛО!
Алгоритм решения определенного интеграла:
1 шаг. Находим первообразную функцию F(x) (неопределенный интеграл);
З а м е ч а н и е: константа C в определенном интеграле никогда не добавляется!
2шаг. Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию:F(b)
3 шаг. Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию F(a)
4 шаг. Рассчитываем разность F(b) – F(a), то есть находим число.
Замена переменной в определённом интеграле
Предположим, что
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
функция
имеет на отрезке
непрерывную производную, при этом
и
Тогда
Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для определенного интеграла.
1. Найдём
Решение:
Воспользуемся
подстановкой x=sint;
тогда
.
Найдём новые пределы интегрирования,
подставляя старые пределы в нашу замену,
,
то t=0
и a=2,
если х=1,
если sint=1,
то
. Получим
.
2.
1шаг. Смотрим, если похожий интеграл в таблице интегралов?
Есть, но видоизмененный:
Готовим наш
интеграл к табличному интегралу: пусть
,
тогда можно записать:
(*)
2 шаг. Вводим замену:
3шаг. Находим новые пределы интегрирования:
подставляя старые
пределы в нашу замену,
,
то t=0
и a=0,
если
,
то
,
и в=3.
Продолжаем решение.
(*)
Рассмотрим образец оформления вычисления определенного интеграла:
2(2-0)-2[ln(2+1)-ln(0+1)]=4-2ln3≈1,803.