1.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке

.

Например, функция F(x)=x³ является первообразной функции f(x)=3x² на всей числовой оси, так как (x³)^/=3x² при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x³ первообразной для f(x)=3x² является любая функция вида Ф(х)=х³+С, где С – произвольное постоянное число.

Лемма о первообразных

Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.

Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,

х – переменной интегрирования; – знак неопределённого интеграла.

Таким образом, по определению

если .

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?

Свойства неопределённого интеграла

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

или

где С – произвольное число

4.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

где k – некоторое число.

5.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

Интегралы от основных элементарных функций

(Таблица интегралов)

1. 

2. .

3. , в общем случае

4. , в частности

5)

6)

7)

8)

₉₎

10)

11)

12)

13) .

14) .

15) .

16)

1.1.2 Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования состоит в том, что мы сравниваем данный дифференциал F(x)dx, который надо проинтегрировать, с формулами таблицы, и если окажется, что он там содержится, то интеграл найден.

Если же его там нет, тогда пробуют его привести к одному из них, употребляя те или иные приемы.

Рассмотрим использование формул интегрирования

Словесно формула читается так:

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, или после него, не изменяя результата.

Формула Эта формула имеет силу для всякого численного значения показателя n, кроме одного: n=-1, ибо тогда в правой части формулы совершится деление на нуль.

Поэтому случай n=-1рассматривается особо: Эта важная формула читается так:

если под знаком интеграла стоит дробь, числитель которого есть дифференциал знаменателя, тогда интеграл есть натуральный логарифм знаменателя.

Образцы вычисления интегралов:

1. 

2. 

Примеры

1 .

П р и м е ч а н и е. Хотя каждое отдельное интегрирование и требует своего прибавочного произвольного постоянного, мы пишем только одно произвольное постоянное C, обозначающее алгебраическую сумму всех этих отдельных прибавочных постоянных.

2.

3.

4.

_{З а м е ч а н и е В табличных формулах 9-11 в знаменателях – либо непосредственно, либо под корнем – содержится выражения 2-й степени только в двумя членами. Если же нам встречается интеграл аналогичного вида, но содержащий в знаменателе- непосредственно или под корнем – полное выражение 2-й степени с тремя членами, то его надо сначало преобразовать в д в у ч л е н н о е выражение. Для этого берут сумму двух старших(переменных) членов и пополняют ее постоянной величиной так, чтобы образовался точный квадрат.}

_5.

6. .

З а м е ч а н и е Если интегрируемое выражение есть дробь, у которой знаменатель есть выражение 2-й степени или корень квадратной из такового, а числитель есть первой степени, тогда интеграл приводится к табличному таким образом:

7.

Замена переменной интегрирования

Если , где - функция, имеющая непрерывную производную, тогда ; подставляя в интеграл, получим

Примеры

1. Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=t². Тогда , получим

2.

Воспользуемся подстановкой cosx=t. Тогда -sindx=dt

З а м е ч а н и е. Можно интегрирование методом подстановки оформить так:

3.

4.

=

5.

₆

П р о в е р к а

_7.

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

.

Чтобы применить его в каком – нибудь данном случае, нужно уметь разбить заданное дифференциальное выражение на два множителя, именно: на u и на dv. Общих правил для этого, к сожалению, никак нельзя дать, кроме, как можно интегралы условно можно разбить на группы:

1. , ,

логарифм, логарифм, умноженный на какой – либо многочлен.

2. ,

экспонциальная функция, умноженная на какой – либо многочлен.

3. ,

тригонометрические функции, умноженные на какой – либо многочлен.

4. ,

обратные тригонометрические функции,»арки», умноженные на многочлен.

5.Также по частям берутся некоторые дроби.

Примеры.

Логарифм, логарифм, умноженный на какой – либо многочлен.

1.

В интегралах, рассматриваемого типа, за u всегда обозначается логарифм!

2.

(под интегралом у нас снова многочлен на логарифм, поэтому снова применяем интегрирование по частям)

3.

4.

Экспонциальная функция, умноженная на какой – либо многочлен.

За u всегда обозначают многочлен!

5.

6.

= .

Иногда формулу интегрирования приходится применять два раза.

7.

.

Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен

Общее правило: за u всегда обозначается многочлен!

8.

_9.

10.

Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен.

Общее правило: за u всегда обозначается обратная тригонометрическая функция!

11.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом степени n называется выражение вида , где – действительные числа . Например, 5–7x – многочлен первой степени ,

=2x³ – 3x² +8x – 1 – многочлен третьей степени.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:

где – многочлены степени m и n соответственно.

, если

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I) ; II) III) ; IV)

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

,

где k – целое, .

От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой , или по следующим формулам:

Разложение многочленов на множители

Для любых многочленов имеет место теорема Безу:

, где z₀  простой корень

, где z₀  корень кратности k.

Если z  корень комплексный: , где i=

и , то , где – сопряженный корень.

Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители

– действительные корни;  комплексные корни

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :

12. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)

13. Вычислить интеграл:

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

приравнивая числители дробей, получаем:

Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:

Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,

Тогда

.

14. Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

При вычислении интегралов вида

рассмотрим частные случаи:

n – нечётное

n, m – чётные, .

применяют формулы тригонометрии:

При вычислении интегралов вида делают замену , тогда

Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:

15. Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то , где

Если

то , где