1.6. Итоговый контроль.
1.6.1. Вопросы к экзаменам.
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица интегралов.
Теорема об инвариантности формы интегрирования.
Интегрирование методом замены переменной.
Интегралы вида:
,
,
,
.Интегрирование по частям. Основные случаи интегрирования по частям.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
,
.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
,
.Представление дробно-рациональных функций в виде простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей:
,
,
,
.Интегрирование иррациональных функций вида
,
.Интегрирование дифференциального бинома:
.Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции. Универсальная замена.
Теорема об интегрировании функций, нечетных относительно
или
.Теорема об интегрировании функций, четных относительно или .
Интегрирование выражений вида:
,
,
,
.Понятие о неберущемся интеграле.
Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграл: а) вычисление площади криволинейной трапеции; б) работа переменной силы.
Определенный интеграл. Определение. Теорема существования определенного интеграла (без док-ва).
Свойства определенного интеграла. Интеграл от суммы функций, вынесение постоянного множителя за знак интеграла, совпадение знака интеграла со знаком подынтегральной функции.
Свойства определенного интеграл. Теорема о перестановке пределов интегрирования, о разбиении интервала интегрирования, об оценке определенного интеграла, теорема о среднем.
Теорема о производной интеграла по верхнему пределу интегрирования.
Формула Ньютона Лейбница, связь определенного интеграла с неопределенным.
Замена переменной в определенном интеграле.
Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длин дуг в различных системах координат.
Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление объема тел по известным площадям поперечных сечений и объем тел вращения.
Вычисление работы при помощи определенного интеграла.
Несобственные интегралы: а) с бесконечными пределами; б) от разрывной функции. Рассмотреть случай:
.Приближенное вычисление определенного интеграла: а) формула трапеции; б) формула парабол (формула Симпсона) с доказательством леммы.
1.6.2. Тест. Неопределенный и определенный интеграл
1.
Функция F(x)
называется первообразной для функции
f(x)
на (a;
b),
если для любого
выполняется равенство:
1) F(x)=f(x) |
2)
|
3)
|
4)
|
2. Какое из свойств определенного интеграла не имеет места?
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3. Какой интеграл вычислен неверно?
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
4.
В интеграле
для приведения подынтегральной функции
к рациональной дроби необходима
подстановка:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.
Объем тела, образованного вращением
кривой
вокруг оси OY
можно вычислить по формуле:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
6.
Вычислить
.
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
7. Среди дробей укажите правильные:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
1) 1 и 3 |
2) 2 и 4 |
3) 1 и 2 |
4) 3 и 4 |
8.
Для вычисления интеграла
целесообразно сделать подстановку
cosx = t.
При этом пределы нового интеграла
будут:
1) а=1, b=-1 |
2) a=0, b=1 |
3) a=-1, b=1 |
4) a=1, b=0 |
9.
Укажите функцию f(x),
первообразная которой
.
1) f(x)=4x-3 |
2)
|
3)
|
4)
|
10.
Вычислить
.
1) 0 |
2)
|
3) 1 |
4) -2 |
11.
Если
,
то справедливо равенство:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
12.
Для вычисления площади фигуры, ограниченной
линией
пользуются формулой:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
13.
Разложение дроби
на простейшие имеет вид:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
14. Какой из интегралов вычислен верно?
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
15. Какое из свойств неопределенного интеграла не имеет места?
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
=
16. Формула интегрирования по частям имеет вид:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
17. Формула Ньютона-Лейбница имеет вид:
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
18.
Интеграл
равен:
1) 1 |
2) ∞ |
3) 0,5 |
4) 2 |
Ключ к тестам
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
2 |
2 |
3 |
4 |
4 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
2 |
4 |
2 |
2 |
3 |
1 |
4 |