Завдання № 1 Системи координат у просторі

1. Знайти координати точок, симетричних точкам A(2;3;1), B(5;-3;2), C(-3;2;1), D(a;b;c) відносно координатних площин та початку координат.

2. Знайти центр кулі радіуса R=5, яка дотикається до всіх трьох координатних площин і розміщена:

1) у шостому октанті;

2) у сьомому октанті.

3. Довести, що трикутник з вершинами в точках A₁(3;-1;6), A₂(-1;7;-2), A₃(1;-3;2) прямокутний.

4. На вісі ординат знайти точку, рівновіддалену від точок А(1; -3;7) і В(5; 7; -5).

5. Вершини трикутника знаходяться в точках A(2;-1;4), B(3;2;-6), C(-5;0;2). Знайти довжину медіани, проведеної з вершини А.

6. Центр мас однорідного стержня знаходиться в точці С(1;-1;5), один з його кінців знаходиться в точці A(-2;-1;7). Визначити координати другого кінця стержня.

7. Відрізок прямої, обмежений точками A(-1;8;3), B(9;-7;-2), розділений точками C, D, E, F на п’ять рівних частин. Знайти координати цих точок.

8. Знайти координати кінців відрізка, який точками C(2;0;2), D(5;-2;0) поділений на три рівні частини.

9. Вершини трикутника знаходяться в точках A(1;-1;-3), B(2;1;-2), C(-5;2;-6). Знайти довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

10. Знайти відношення, в якому кожна з координатних площин поділяє відрізок , якщо .

Завдання № 2 Застосування методу координат до розв’язування задач елементарної геометрії

1. У куб вписано сферу. Довести, що сума квадратів відстаней від кожної точки сфери до вершин куба не залежить від вибору точки. Знайти цю суму.

2. У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ з ребром а послідовно сполучено середини ребер АА₁, А₁В₁, В₁С₁, С₁С, CD, DA і АА₁. Довести, що утворена фігура є правильним шестикутником і знайти його площу.

3. У тетраедрі АВСD ребра АВ, АС, DB і DC відповідно поділяються точками M, N, P і Q в одному і тому ж відношенні . Довести, що чотирикутник MNPQ – паралелограм.

4. Довести, що дві площини (A₁BD) і (CB₁D₁) ділять діагональ АС₁ паралелепіпеда ABCDA₁B₁C₁D₁ на три рівні частини.

5. Довести, що відрізки, які з’єднують середини протилежних ребер тетраедра, перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

6. Довести, що діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в ній навпіл.

7. Довести, що діагональ паралелепіпеда проходить через центри тяжіння трикутників та .

8. Довести, що чотири відрізки, що з’єднують кожну вершину тетраедра з точкою перетину медіан протилежної грані, перетинаються в одній точці, і кожний з відрізків ділиться цією точкою у відношенні (рахуючи від вершини).

9. Дано тетраедр і точка на ребрі . Довести, що середини відрізків лежать в одній площині.

10. – тетраедр, – точка перетину медіан трикутника , – три точки, що лежать відповідно на ребрах . Довести, що точка перетину медіан трикутника лежить на прямій тоді і тільки тоді, коли площини і паралельні.