5.3 Прием дифференциально-интегральных исчислений

Прием дифференциально-интегральных исчислений, являющийся приемом непоследовательного элиминирования, был изобретен учеными с целью ликвидации основного недостатка, присущего традиционным приемам изучения прямой детерминированной факторной связи: цепных подстановок и метода разниц. Суть недостатка заключается в необходимости определения последовательности замены значений факторов, что иногда затруднительно при их большом числе, в то время как изменение последовательности влияет на результат расчета.

Данный метод позволяет разложить дополнительный прирост результативного показателя в связи с взаимодействием факторов поровну между ними, независимо от их расположения в модели. Прием дифференциально-интегральных исчислений используют при изучении факторной связи в моделях мультипликативного и кратного видов. При этом использование метода основано на применении соответствующего алгоритма расчетов для определенного вида факторных моделей.

Алгоритм применения метода для мультипликативных двух факторных моделей:

1. построение модели факторной системы:

А = Х · Y,

где А – результативный показатель, Х и Y –факторы;

2. определяем величину влияния первого фактора (Х):

DА(Х) = ½ · DХ (Y₀ + Y₁);

3. определяем величину влияния второго фактора (Y):

DА(Y) = ½ · D Y (Х₀ + Х₁);

4. осуществляем проверку:

DА(Х) + DА(Y) ≈ DА.

Алгоритм расчета влияния факторов в мультипликативных трех факторных моделях:

1. исходная модель факторной системы: А = Х · Y· Z,

где А – результативный показатель, Х, Y, Z – факторы;

2. определяем величину влияния первого фактора (Х):

DА(Х) = ½ · DХ (Y₀Z₁ + Y₁Z₀)+ ·DX·DY·DZ;

3. определяем величину влияния второго фактора (Y):

DА(Y) = ½ · D Y (Х₀ Z₁ + Х₁ Z₀) + ·DX·DY·DZ;

4. определяем величину влияния третьего фактора (Z):

DА(Z) = ½ · D Z (Х₀ Y₁ + Х₁ Y₀) + ·DX·DY·DZ;

5. осуществляем проверку:

DА(Х) + DА(Y)+ DА(Z) ≈ DА.

Алгоритм применения метода для мультипликативных четырех факторных моделей:

1. исходная модель факторной системы:

А = Х · Y· Z·D,

где А – результативный показатель, Х, Y, Z, D – факторы;

2. определяем величину влияния первого фактора (Х):

DА(Х) = 1/6 · DХ (3·Y₀Z₀D₀+ Y₁D₀(Z₁+∆ Z)+ Z ₁Y₀(D₁+∆ D)+

+ D₁Z₀(Y₁+∆ Z)) + 1/4·DX·DY·DZ·∆ D;

3. определяем величину влияния второго фактора (Y):

DА(Y) = 1/6 · DY (3·X₀Z₀D₀+ X₁D₀(Z₁+∆ Z)+ Z ₁X₀(D₁+∆ D)+

+ D₁Z₀(X₁+∆ X)) + 1/4*DX·DY·DZ·∆ D;

4. определяем величину влияния третьего фактора (Z):

DА(Z) = 1/6 · DZ(3·Y₀X₀D₀+ X₁Y₀(D₁+∆ D)+ Y₁D₀(X₁+∆ X)+

+ D₁Z₀(Y₁+∆ Y)) + 1/4·DX·DY·DZ·∆ D;

5. определяем величину влияния четвертого фактора (D):

DА(D) = 1/6 · DD(3·Y₀X₀Z₀+ X₁Y₀(D₁+∆ D)+ Y₁Z₀(X₁+∆ X)+ Z₁X₀(Y₁+∆ Y)) + 1/4·DX·DY·DZ·∆ D;

6. осуществляем проверку:

DА(Х) + DА(Y)+ DА(Z))+ DА(D) ≈ DА.

Алгоритм применения метода для двух факторных моделей кратного вида:

1. исходная модель факторной системы:

А = Х : Y,

где А – результативный показатель, Х и Y –факторы;

2. определяем величину влияния первого фактора (Х):

DА(Х) = (DХ:D Y) · ln êY₁: Y _0ï;

3. определяем величину влияния второго фактора (Y):

DА(Y) = DА - DА(Х).

Алгоритм применения метода для факторных моделей комбинированного вида (полученных на основе преобразования кратных):

1. исходная модель факторной системы: А=Х:(Y+Z), где А – результативный показатель, Х, Y и Z – факторы;

2. определяем величину влияния первого фактора (Х):

DА(Х) = (DХ:(D Y+D Z)) · ln ê(Y₁+Z₁): (Y ₀+Z₀)ï;

3. определяем величину влияния второго фактора (Y):

DА(Y) = (DА - DА(Х)):( D Y+D Z) · D Y;

4. определяем величину влияния третьего фактора (Z):

DА(Z) = DА - DА(Х) -DА(Y).

Достоинством данного метода является полное разложение факторов и отсутствие необходимости устанавливать очередность действия факторов. К недостаткам метода относят значительную трудоемкость расчета при многофакторных детерминированных моделях.

Пример 5.12. На основании приведенной ниже информации определить:

1. эффективность использования трудовых ресурсов и структуру рабочей силы предприятия за прошлый и отчетный годы;

2. провести общий анализ исходных и расчетных показателей;

3. предварительно построив факторную модель, оценить влияние на динамику среднегодовой выработки одного работающего изменение: удельного веса работников торгово-оперативного персонала в общей численности работающих; среднегодовой производительности труда торгово-оперативного персонала;

4) сделать выводы.

Таблица А – Исходные данные

Показатели	Фактически за предшествующий период	Фактически за отчетный период
А	1	2
1. Выручка от продажи товаров, тыс. руб.	2 314	3 002
2. Среднесписочная численность работающих, чел.	25	26
3. в т. ч. среднесписочная численность торгово-оперативного персонала, чел.	20	19

Таблица Б – Анализ динамики структуры и эффективности использования рабочей силы торговой организации за отчетный период

Показатели	Фактически за предшествующий период			Фактически за отчетный период	Абсолютное изменение, (+;-)	Темп роста, %
А	1			2	3 (2-1)	4 (2:1)100
Выручка от продажи товаров (ВР), тыс. руб.	2 314,0			3 002,0	+688,0	129,7
Среднесписочная численность работающих всего ( ),	25,0			26,0	+1,0	104,0
в т. ч. среднесписочная численность торгово-оперативного персонала ( ТОП)	20,0			19,0	-1,0	95,0
Окончание таблицы Б
Показатели			Фактически за предшествующий период	Фактически за отчетный период	Абсолютное изменение, (+;-)	Темп роста, %
А		1		2	3 (2-1)	4 (2:1)100
Удельный вес численности торгово-оперативного персонала в общей численности работающих (dТОП), (стр.3: стр.2)100 %		80,0		73,1	-6,9	Х
Производительность труда одного работающего (ПТ), (стр.1:стр.2), тыс. руб.		92,6		115,5	+22,9	124,7
Производительность труда одного торгово-оперативного работника (ПТТОП), (стр.1:стр.3), тыс. руб.		115,7		158,0	+42,3	136,6

Построение факторной модели:

ПТ= ВР: = d_ТОП· ПТ_ТОП:100 % – 2-факторная мультипликативная модель, описывающая зависимость эффективности использования трудовых ресурсов торговой организации от структуры рабочей силы и производительности труда торгово-оперативного персонала (преобразование модели см.в табл. В).

Таблица В – Анализ влияния факторов на динамику эффективности использования трудовых ресурсов (дифференциально-интегральным методом)

Показатели	Влияние факторов на изменение производительности труда
	методика расчета	расчет	величина влияния, тыс. руб.
А	1	2	3
Удельный вес численности торгово-оперативного персонала в общей численности работающих	½·∆dТОП · (ПТТОП 0+ПТТОП 1):100	½(-6,9)· (115,7+158):100	-9,44
Производительность труда одного торгово-оперативного работника	½·∆ПТТОП · ( dТОП 0+ dТОП 1):100	½(+42,3)· (80+73,1):100	+32,38
Производительность труда одного работающего	∆ПТ(dТОП) + ∆ПТ(ПТТОП)	-9,44+32,38	+22,94

За исследуемый период в торговой организации отмечается повышение эффективности использования трудовых ресурсов, что выражено в приросте производительности труда одного работающего на 22,9 тыс. руб., что в относительном выражении составляет почти 25 % (124,7-100 %) от фактических данных прошлого года. Данная позитивная тенденция была предопределена увеличением выработки одного торгово-оперативного работника на 42,3 тыс. руб., в результате чего были созданы предпосылки роста эффективности использования трудовых ресурсов на 32,38 тыс. руб. Однако ухудшение структуры рабочей силы, т. е. сокращение на 6,9 % удельного веса основной категории работающих, сократило указанный прирост производительности труда на 9,44 тыс. руб.

Таким образом, основным направлением дальнейшего повышения эффективности использования рабочей силы данной организации, а следовательно, и товарооборота, является оптимизация структуры трудовых ресурсов.

Пример 5.13. На основании представленной информации определить:

1. показатель, характеризующий эффективность использования товарных запасов (в дн.), по плану и фактически;

2. провести общий анализ исходных и расчетных данных;

3. рассчитать величину влияния изменения среднего размера товарных запасов и однодневного товарооборота на время обращения товаров;

4. сделать выводы.

Таблица А – Исходные данные

Показатели	Фактически за предшествующий период	Фактически за отчетный период
А	1	2
Средний размер товарных запасов, тыс. руб.	945,0	1 020,0
Однодневный товарооборот, тыс. руб.	13,5	12,0

Таблица Б – Анализ выполнения плана по эффективности использования товарных запасов торговой организации за отчетный год

Показатели	По плану	Фактически	Абсолютное отклонение от плана (+;-)	Степень выполнения плана, %
А	1	2	3 (2-1)	4 (2:1)100
Средний размер товарных запасов ( ), тыс.руб.	945,0	1 020,0	75,0	107,9
Однодневный товарооборот (ВРодн.), тыс.руб.	13,5	12,0	-1,5	88,9
Время обращения товаров (t), (стр.1:стр.2), дни	70,0	85,0	+15,0	121,4

t = : ВР_одн. – 2-факторная кратная модель.

Таблица В – Расчет влияния факторов на эффективность использования товарных запасов (дифференциально-интегральным методом)

Показатели	Влияние на изменение времени обращения товаров
	методика расчета	расчет	величина влияния, дн.
А	1	2	3
Средний размер товарных запасов	(D : DВРодн )· ln (ВРодн.1: ВРодн.0)	75: (-1,5) ln (12,0:13,5) = -50,0· (ln12,0 – ln13,5) = -50,0· (2,5 – 2,6)	+6,0
Однодневный товарооборот	D t - D t ( )	15,0-6,0	+9,0

Результаты проведенного анализа позволяют прийти к заключению о том, что рост средних остатков товарных запасов замедлил их товарооборачиваемость в отчетном году в среднем на 6 дней. Негативное же влияние уменьшения темпов реализации товаров, которое составило более 11 % (88,9-100 %), было в 1,5 раз больше, так как за счет этого фактора увеличение среднего срока реализации товаров составило 9 дней. Указанные факты с отрицательной стороны характеризуют работу предприятия и требуют разработки конкретных мероприятий, направленных на стабилизацию состояния товарных запасов, на основе результатов их внутривидового анализа.