§ 1.13 Соединение конденсаторов

Е сли соединить конденсаторы в батарею, то можно расширить число значений емкости и напряжения. Конденсаторы можно соединять параллельно (рисунок 1.17) и последовательно (рисунок 1.18).

При параллельном соединении одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал j₁, другая - j₂. Значит, на каждой из двух систем обкладок накапливается суммарный заряд

.

В результате при параллельном соединении общая емкость вычисляется

.

При параллельном соединении конденсаторов емкости складываются. Предельное напряжение батареи равно наименьшему из значений для конденсаторов в батарее.

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаковый. Напряжение на каждом из конденсаторов

U_k = q/C_k,

Сумма этих напряжений равна разности потенциалов, приложенной к батареи

.

В результате:

.

При последовательном соединении складываются величины, обратные их емкостям. Напряжение равно сумме напряжений на каждом конденсаторе.

Если n одинаковых конденсаторов с емкостью С каждый соединить сначала параллельно и зарядить их до разности потенциалов Dj, а затем соединить их последовательно, то на батареи появится разность потенциалов, равная nDj. На этом принципе основано устройство импульсного генератора, позволяющего получить разность потенциалов в 10⁶ В. Импульсный генератор применяется при изучении кратковременных перенапряжений, возникающих в устройствах под влиянием грозовых разрядов и других причин.

§ 1.14 Энергия электрического поля

Силы, с которыми взаимодействуют заряженные тела, консервативны. Найдем потенциальную энергию заряженного проводника. Пусть имеется проводник, у которого электроемкость, заряд и потенциал соответственно равны С, q, j. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда q из бесконечности на проводник

dA = j×dq = C×j×dj.

Для того чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, надо совершить работу

.

Очевидно, что энергия заряженного тела равна работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить тело

.

Аналогично находится энергия заряженного конденсатора.

Процесс возникновения зарядов на обкладках можно представить так: от одной обкладки последовательно отнимают очень малые порции заряда Dq и передают на другую обкладку. Работа по переносу очередной порции заряда

.

Учитывая, что

dW = dA.

Имеем

, . (1.25)

Исходя из формулы (1.25), можно найти силу взаимодействия между обкладками плоского конденсатора

, где W = q²/2C, С = ee₀S/х,

здесь х - расстояние между обкладками конденсатора, значит

, .

Знак минус говорит, что это сила притяжения.

Энергию конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками плоского конденсатора

,

где E = U/d; V = S d.

Таким образом, можно записать

. (1.26)

Формула (1.26) выражает энергию конденсатора через напряженность поля и объем.

Если напряженность поля однородная, то плотность энергии

. (1.27)

Формула (1.27) не справедлива для неоднородного поля. Учитывая, что D= ee₀E, получим

. (1.28)

Из формулы (1.28) видно, что при той же напряженности поля плотность энергии в диэлектрике больше, чем в вакууме, на

. (1.29)

Э та величина представляет собой ту часть энергии, которая затрачивается на поляризацию единицы объема диэлектрика при создании поля. Формула (1.28) кроме собственной энергии поля включает энергию, затраченную на поляризацию диэлектрика. Из формулы (1.29) видно, что заполнение зазора между обкладками конденсатора становится энергетически выгодным. Если обкладки плоского конденсатора одним концом опустить в жидкий диэлектрик, то диэлектрик втягивается в конденсатор и его уровень в зазоре поднимается (рисунок 19). Это приводит к возрастанию потенциальной энергии диэлектриков в поле сил тяжести. Уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимальной суммарной энергии, энергии электрического поля и энергии обусловленной силами тяжести. Это явление сходно с капиллярным явлением поднятия жидкости в узком зазоре между пластинками. Втягивание диэлектрика в зазор с микроскопической точки зрения можно объяснить так. У краев пластин конденсатора имеется неоднородное поле. Молекулы диэлектрика обладают дипольным моментом или приобретают его под действием поля. Поэтому на них действуют силы, стремящиеся переместить их в область сильного поля, то есть внутрь конденсатора. Поэтому жидкость втягивается в зазор до тех пор, пока электрические силы не будут уравновешены весом жидкости.

Найдем высоту поднятия диэлектрика между обкладками

; W_П = W₁ + W₂ + W₃;

или ; ;

; .