5 Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной мас­совой силы — силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.

Как было показано выше, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с мень­шим сечением скорость течения возрастает, т.е. жидкость движется с ускорением. Следовательно, на жид­кость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в сечениях 1-1 и 2-2: давление в сечении 1-1 больше, чем в сечении 2-2, что и обеспечивает течение жидкости в данном направлении.

Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным дей­ствием силы давления и силы тяжести.

Применим к некоторому выделенному в потоке объему жидкости массой m теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела (рис. 12).

Рис. 12. К выводу уравнения Бернулли

При перемещении выделенного объема жидкости из сечения 1-1 в сечение 2-2 за время t силы давления совершают работу А_р:

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объема:

Приращение кинетической энергии равно

Таким образом,

Отсюда следует

Разделив все члены уравнения на т, и сгруппировав члены, относящиеся к первому сечению, в левой час­ти уравнения, а члены, относящиеся ко второму сечению, в правой, получим уравнение Бернулли для идеаль­ной несжимаемой жидкости, записанное в энергетической форме:

где — удельная энергия* положения (g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения);

— удельная энергия давления;

v²/ 2 — удельная кинетическая энергия.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль потока полной удельной энергии жидкости, т.е. выражает закон сохранения механиче­ской энергии в идеальной жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы:

энергия положения, давления и кинетическая энергия. Первая и третья формы механической энергии извест­ны из механики и в равной степени свойственны твердым и жидким телам. Энергия давления является специ­фической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, однако величина полной удельной энергии жидкости остается неизменной. Разделив все члены уравнения Бернулли на g, получим другую форму его записи:

где z — геометрическая высота, или геометрический напор;

р /(pg) — пьезометрическая высота, или пьезометрический напор; v²/(2g) — скоростная высота, или скоростной напор.

Трехчлен вида

называют полным напором.

Очевидно, что для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров (высот): геометрического, пьезо­метрического и скоростного есть величина постоянная вдоль потока (рис. 13).

Рис. 13. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока идеальной жидкости

Замер напоров в трех сечениях трубы переменного сечения осуществляется пьезометрами и трубками Пито. Напомним, что пьезометры служат для измерения пьезометрического напора p/(pg). Трубки Пито, пред­ставляющие собой изогнутые трубки, отверстия которых расположены

* Удельная энергия — энергия, отнесенная к единице массы.

перпендикулярно линиям тока жидко­сти, а противоположные колена ориентированы вертикально, показывают полный, за исключением геометри­ческого, напор, т.е. р /(pg) + v²/(2g).

Разность показаний трубок Пито и пьезометров представляют собой скоростной напор v² l(2g) в данном се­чении.

Линию изменения пьезометрических высот называют пьезометрической линией, ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль потока.

Штриховой линией на рис. 2.14 показана пьезометрическая линия при увеличении расхода жидкости в раз, вследствие чего скоростные высоты увеличиваются в 2 раза, а в узкой части потока давление становится меньше атмосферного.

В ряде случаев удобно применять форму записи уравнения Бернулли, в которой члены уравнения имеют размерность давления:

где pgz — весовое давление;

р — гидромеханическое давление (или просто давление); ρv²/ 2 — динамическое давление*.