§10. Связь между напряжённостью и потенциалом.

Электростатическое поле характеризуется двумя физическими величинами — напряжённостью и потенциалом. При этом напряжённость является вектором, а потенциал — скаляром. Очевидно, что между ними должна существовать определённая связь. Для её установления рассмотрим две точки, находящиеся на элементарном расстоянии , потенциалы которых равны и (рис. 10.1). Найдём элементарную работу , совершаемую силами поля при перемещении пробного заряда из точки 1 в точку 2. Эту работу можно вычислить двумя способами. Поскольку участок элементарный, то его считаем прямолинейным и изменением напряжённости поля, следовательно, и силы , действующей на заряд, пренебрегаем. Пусть направления и составляют угол .

По определению, работа по перемещению определяется соотношением

.

Согласно (2.1), . Тогда

.

Но - проекция вектора на направление . Следовательно

. (10.1)

С другой стороны, согласно (9.3),

.

Поскольку точки близки, то потенциалы этих точек будут отличаться на элементарную величину , т.е. . Поэтому

. (10.2)

Сравнивая (10.1) и (10.2), получаем, что . Отсюда

(10.3) и . (10.4)

Знак минус в выражении (10.4) указывает на то, что напряжённость в любой точке поля направлена в сторону убывания потенциала. Итак, проекция напряжённости на какое-либо направление в каждой точке поля равна производной потенциала по данному направлению.

§11. Эквипотенциальные поверхности.

В случае электростатических полей для его наглядного изображения, наряду с линиями напряжённости поля, используют эквипотенциальные поверхности. Поверхности, во всех точках которых потенциалы одинаковы, называются эквипотенциальными. Условились проводить их так, чтобы разность потенциалов между любыми соседними поверхностями была одинаковой. Тогда по густоте этих поверхностей судят об электростатическом поле. Там, где они гуще, потенциал больше. Если провести через одну и ту же точку линию напряженности и эквипотенциальную линию, то касательные к этим линиям будут взаимно перпендикулярны, и можно сказать, что линии напряжённости электростатического поля и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности обладают одинаковыми потенциалами. Поэтому работа по переносу заряда по этой поверхности из одной точки в другую равна нулю: , поскольку . Следовательно, . Это возможно, если угол между векторами и равен 90°, т.е. сила перпендикулярна к траектории движения.

На рис. 11.1 приведён ид эквипотенциальных поверхностей (пунктирные линии) и линий напряжённости (сплошные линии) электростатического поля положительного точечного заряда (показано сечение эквипотенциальных поверхностей плоскостью чертежа). Из рис. 10.2 видно, что , так как густота поверхностей уменьшается по мере удаления от заряда.

Зная расположение силовых линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить абсолютное значение и направление напряженности поля.

Рис. 11.1