5. Поле объемно-заряженного шара.

Пусть шар радиуса заряжен с постоянной объемной плотностью . Поле в этом случае обладает центральной симметрией. Легко сообразить, что для поля вне шара получается тот же результат, что и в случае поверхностно заряженной сферы. Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса заключает в себе заряд, равный . Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом:

.

Отсюда, заменив через , получаем

. (7.6)

Таким образом, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра шара. Вне шара напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечно заряда.

§8. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Циркуляция напряжённости электрического поля.

При движении зарядов в электрическом поле силы, действующие на него со стороны поля, совершают работу. Найдём её при перемещении точечного заряда в электростатическом поле, создаваемым другим точечным зарядом . Будем рассматривать движение в системе отсчёта, связанной с зарядом . Тогда положение заряда в любой момент времени определяем радиус-вектором , проведённым из точки расположения заряда (рис. 8.1). Пусть в начальный момент времени заряд находится в точке 1, определяемой радиус-вектором , а затем по произвольной траектории он перемещается в точку 2 с радиус-вектором . Работу , совершаемую силой, находим по формуле:

.

В данном случае на заряд действует кулоновская сила

.

Подставляя это выражение в предыдущую формулу, получаем:

. (8.1)

Из полученного соотношения видно, что работа сил электростатического поля, создаваемого точечным зарядом, определяется только начальным и конечным положением заряда, и, следовательно, не зависит от траектории движения. Оказывается, что этим свойством обладает любое электростатическое поле, а не только поле точечного заряда.

Известно, что существуют два вида полей - потенциальные и вихревые. В потенциальных полях на тела, находящиеся в них, действуют силы, которые обладают тем свойством, что работа этих сил не зависит от пути переноса и определяется лишь начальным и конечным положением тела. Исходя из этого и учитывая полученный результат, приходим к выводу, что электростатическое поле является потенциальным.

Из выражения (8.1) следует также, что при переносе заряда по замкнутому пути, т.е., когда заряд возвращается в исходное положение, и . Тогда запишем . Значок ° на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой кривой. Но сила , действующая на заряд , равна . Поэтому последнюю формулу перепишем в виде:

,

где - проекция напряжённости электростатического поля на направление . Разделив обе части этого равенства на , находим:

. (8.2)

Выражение вида называется циркуляцией напряжённости электрического поля. Как указывалось, электростатическое поле потенциально. Для него циркуляция напряжённости равна нулю. Поэтому формулу (8.2) рассматривают как условие потенциальности поля. Электрическое поле, изменяющееся со временем, не потенциальное и поэтому .