§41. Магнитный поток. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции.

Потоком вектора магнитной индукции или магнитным потоком сквозь малую площадку dS называется физическая величина, равная произведению этой площадки и проекции В_п вектора на направление нормали к площадке dS:

, (41.1)

где — вектор площадки , - угол между вектором и напрвлением нормали . Интегрируя это выражение по S, получим

, (41.2)

где Ф_т — магнитный поток сквозь произвольную поверхность S.

При вычислении этого интеграла векторы нормалей к площадкам dS нужно направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S. Например, если S — замкнутая поверхность, то векторы должны быть либо все внешними, либо все внутренними.

Если поле однородное, а поверхность S плоская и расположена перпендикулярно полю, то В_п=В=const и

. (41.3)

Магнитный поток является одной из основных величин, применяемых в электромагнетизме. За единицу магнитного потока принимается магнитный поток сквозь плоскую поверхность единичной площади, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна единице. Единица магнитного потока в СИ называется вебером (Вб).

Рассчитаем поток вектора сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью , согласно (33.26), равна

.

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

,

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

. (41.4)

Теорема Гаусса для магнитного поля: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

, (41.5)

Эта теорема является математическим следствием отсутствия в природе магнитных «зарядов», на которых могли бы начинаться и заканчиваться линии магнитной индукции.

Покажем ее справедливость теоремы Гаусса на примере магнитного поля бесконечно длинного проямолинейного проводника с током . В качестве замкнутой поверхности S возьмем поверхность прямого кругового цилиндра, радиус основания которого равен , высота — , а ось совпадает с осью проводника (рис. 41.1). Линии индукции магнитного поля прямолинейного тока представляют собой концентрические окружности, центры которых лежат на оси проводника, а плоскости перпендикулярны ему. Поэтому линии индукции не пересекают ни боковой поверхности цилиндра, ни его оснований. Следовательно, в любой точке поверхности цилиндра проекция вектора на направление нормали к поверхности равна нулю (В_п=0) и

. (41.6)

рис. 41.1

Что и требовалось доказать.

§42. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 42.1), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

рис. 42.1(можно поменять на рис. Из трофимово на стр. 221)

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера, равна

F=IBl.

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

,

где Idx = dS — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; BdS= dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

, (42.1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора .

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изображенное на рис. 42.2 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: АВС и CDА.

рис. 42.2(трофимова стр. 221)

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC (dA₁) и CDA (dA₂),т.е.

dA = dA₁+ dA_2. (42.2)

Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₂>0. Согласно (42.1), эта работа равна произведению силы тока в контуре на пересеченный проводником CDА магнитный поток. Проводник CDА пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь тонированную поверхность и поток dФ₂, пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,

dА₂= (dФ₀+dФ₂). (42.3)

Силы, действующие на участок ABC контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₁<0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь тонированную поверхность и поток dФ₁, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

dА₁= (dФ₀+dФ₁). (42.4)

Подставляя (42.3) и (42.4) в (42.2), получим выражение для элементарной работы:

dА= (dФ₂ dФ₁). (42.5)

где dФ₂ dФ₁=dФ'— изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

dА= dФ'. (42.6)

Проинтегрировав выражение (42.6), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

А= ΔФ. (42.7)

т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (42.7) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.