§ 33. Закон Био-Савара-Лапласа.

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774 —1862) и Ф.Саваром (1791-1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П.Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током , элемент dl которого создает в некоторой точке А (рис. 33.1) индукцию поля , записывается в виде

, (33.1)

где - вектор,по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током; — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля; — модуль радиуса-вектора , точка А – точка, в которой определяем значение вектора магнитной индукции, квадратные скобки означают векторное произведение векторов и . Направление перпендикулярно и , т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть задано по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу буравчика): направление вращения буравчика дает направление если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Рис. 33.1

Модуль вектора определяется выражением

, (33.2)

где — угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: вектор магнитной индукции результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равен векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (33.3)

Неограниченно увеличивая число участков источников поля и переходя к пределу при , можно заменить сумму, стоящую в правой части уравнения (33.3), интегралом:

. (33.4)

где — магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника с током .

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным выше формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет опреде ленную симметрию, то применение за кона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Магнитное поле конечного прямолинейного проводника с током.

Обозначим буквой R расстояние от проводника с током I до точки О, в которой определяется напряженность поля (рис. 33.2). Определим направление тока (на рис 33.2 вниз). Выделим в проводнике элементарный участок dl на расстоянии r от точки О. Так как для всех элементарных участков проводника ток имеет одно значение и направление (согласно правилу буравчика, перпендикуляно плоскости четежа, на нас), то полная магнитная индукция поля в точке О, согласно формулам (33.2) и (33.4), равна

, (33.5)

рис 33.2

Из точки О проведем радиусом отрезок дуги АВ= . Ввиду малости участка dl, а следовательно, и угла , можно считать, что отрезок АВ прямолинеен, и .

Тогда из получим , откуда

,

или, учитывая, что ,

. (33.6)

Вводя последнее выражение в формулу (33.5) и переходя от интегрирования по длине к интегрированию по углу в пределах от до , получим

,

или окончательно

, (33.7)

2. Магнитное поля бесконечного прямолинейного проводника с током. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 33.3). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол (угол между векторами и ), выразив через него все остальные величины. Из рис. 33.3 следует,

, (33.8)

(33.9)

(радиус дуги CD вследствие малости равен , поэтому угол FDC можно считать прямым). Подставив выражения (33.8) и (33.9) в (33.2), получим, что магнитнаяиндукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

. (33.10)

Так как угол для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то, согласно (33.4) и (33.10),

. (33.11)

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. (33.12)

Рис. (33.3)

Эту же формулу можно получить воспользовавшись формулой (33.7) и подставив в нее значения и

3. Магнитного поле в центре кругового проводника с током (рис. 33.4). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору ( ) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (33.2),

. (33.13)

Тогда

. (33.14)

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

(33.15)

рис. 33.4

4. Магнитное поле на оси кругового тока. Определим индукцию магнитного поля, создаваемого круговым током в точке А, лежащей на его оси NN'. Круговой контур ориентирован перпендикулярно плоскости листа, против часовой стреки (рис. 33.5). Выделим в контуре два диаметрально противоположных элементарных участка dl и построим векторы полей, создаваемых этими участками в точке А. Разложим на две составляющие: — направленную по оси NN' и — перпендикулярную ей.

рис 33.5(исправить н на в)

Из рис. 33.5 следует, что для каждой пары диаметрально противоположных участков dl составляющие равны между собой по величине и противоположны по направлению, а составляющие равны по величине и одинаково направлены. Поэтому при геометрическом сложении от всех участков dl составляющие взаимно уничтожаются и полная магнитная индукция в точке А будет равна алгебраической сумме всех т. е. интегралу, взятому от по всему круговому контуру :

. (33.16)

Мы ограничились интегрированием модулей, т.к. все вектора направлены в одну сторону.

Согласно рисунку,

. (33.17)

Тогда, учитывая, что, по закону Био—Савара—Лапласа (33.2),

и что , можем написать

, (33.18)

Подставляя последнее выражение (33.18) в формулу (33.16) и учитывая, что , R и для всех участков контура одинаковы, получим

, (33.19)

Так как и ,то окончательное выражение для магнитной индукции примет вид

, (33.20)

Эта напряженность направлена вдоль оси кругового тока.

Отметим, что при , т. е. для центра кругового тока, выражение (33.20) совпадет с выведенной ранее формулой (33.15).

5. Магнитное поле соленоида.

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении (рис. 33.6). Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось. На рис. 33.6 показаны четыре витка соленоида с током . Для наглядности полувитки, расположенные за плоскостью листа, изображены прерывистыми линиями. На этом рисунке видно, что внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление, тогда как между соседними витками они имеют противоположные направления (направление силовых линий установлено по правилу буравчика). Поэтому при достаточно плотной намотке соленоида противоположно направленные участки силовых линий соседних витков взаимно уничтожатся, а одинаково направленные участки сольются в общую замкнутую силовую линию, проходящую внутри всего соленоида и охватывающую его снаружи.

рис. 33.6

Детальное изучение магнитного поля длинного соленоида показал, что это поле имеет вид, изображенный на рис. 33.7. Внутри соленоида поле оказывается практически однородным, вне соленоида — неоднородным и сравнительно слабым (густота силовых линий здесь весьма мала). Как и магнит, соленоид имеет северный С и южный Ю полюсы и нейтральную зону.

рис. 33.7

Получим формулу для расчета вектора магнитной индукции внутри соленоида конечной длины.

На рис. 33.8 изображен продольный разрез соленоида вертикальной плоскостью, проходящей через его ось. Длина соленоида , радиус его витков R, число витков п, сила тока, идущего по соленоиду .

рис. 33.8(можно заменить из детлафа яворского)

Рассматривая соленоид как совокупность вплотную приложенных друг к другу витков (круговых токов ), имеющих общую ось, определим индукцию магнитного поля в точке А на оси соленоида как сумму напряженности от всех его витков. Для этого выделим малый участок длины dr₀ соленоида.

В нем содержится витков. Согласно формуле (33.20), магнитная индукция одного витка . Поэтому магнитная индукция от участка dr₀ будет равна

. (33.21)

Из рис. 33.8 видно, что . Тогда

, (33.22)

. (33.23)

Подставляя выражения (33.22) и (33.23) в формулу (33.21) и производя сокращения, получим

. (33.24)

Интегрируя последнее выражение в пределах от до , найдем полную магнитную индукцию поля в точке А:

. (33.25)

У достаточно длинного соленоида и . В этом случае формула (33.25) примет вид

. (33.26)

Таким образом, внутри достаточно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова; она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом буравчика.

6. Магнитное поле тороида.

Тороид — катушка из проволоки, навитой на тор (рис. 33.9). Магнитное поле тороида однородно и замкнуто внутри самого тороида; вне тороида поле отсутствует. Тороид можно рассматривать как свернутый кольцом достаточно длинный соленоид, и для расчета напряженности магнитного поля тороида можно пользоваться формулой (33.26):

, (33.27)

где — длина оси тороида, — радиус тороидального кольца, — сила тока, п — число витков тороида.

рис. 33.9