§26. Правила Кирхгофа.
При разработке электрических и радиотехнических схем приходится сталкиваться с очень сложными разветвлёнными электрическими цепями. Непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров (рис. 26.1) (контуры могут иметь общие участки, каждый из контуров может иметь несколько источников тока и т.д.), довольно сложен. Эта задача более просто решается с помощью двух правил Кирхгофа.
рис.
26.1
Любая точка разветвления цепи, в которой сходится не менее трех проводников с током, называется узлом. На рис. 26.1 А, B, C, D, E – узлы. Ток, входящий в узел, считается положительным, а ток, выходящий из узла — отрицательным.
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в
узле, равна нулю:
,
(26.1)
где - число токов сходящихся в узле.
Первое правило Кирхгофа вытекает из закона сохранения электрического заряда. Действительно, в случае установившегося постоянного тока ни в одной точке проводника и ни на одном его участке не должны накапливаться электрические заряды. В противном случае токи не могли бы оставаться постоянными.
Второе правило Кирхгофа вытекает из того, что электрическое напряжение по замкнутому контуру равно нулю, а значит, это правило есть следствие основного свойства электростатического поля, согласно которому работа при движении заряда по замкнутому контуру равна нулю. Оно является обобщением закона Ома для разветвленных цепей и применяется для замкнутых контуров. На рис. 26.1 контур САВ – замкнутый.
Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления (напряжений) в ветвях любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, встречающихся в этом контуре:
,
(26.2)
,
(26.3)
где и - число сопротивлений и источников тока в контуре соответственно.
Необходимо отметить,
что сопротивления
включают в себя и внутренние сопротивления
источников тока.
При применении этого правила выбирается какое-нибудь направление обхода (по или против часовой стрелки) и уславливаются о правиле знаков:
а) если ток в данной
ветви течет в направлении обхода контура,
то соответствующие произведения
берутся со знаком плюс, в противном
случае — со знаком минус;
б) если в направлении обхода внутри источника происходит переход от отрицательного полюса к положительному, то ЭДС берётся со знаком плюс, в противном случае - с минусом.
При решении задач рекомендуется следующий порядок расчета сложной цепи постоянного тока:
1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определится при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.
2. Подсчитать число
узлов в цепи
.
Записать выражения (26.1) для каждого из
узлов. Уравнение (26.1) для
-гo
узла ничего нового не дает, так как оно
является простым следствием предыдущих
уравнений.
3. Выделить
произвольные замкнутые контуры в цепи
и, условившись о направлении обхода,
записать для них систему уравнений
(26.2). Уравнения (26.2) следует писать не
для всех контуров, так как часть из этих
уравнений является следствием предыдущих.
Каждый рассматриваемый контур должен
содержать хотя бы один элемент, не
содержащийся в предыдущих контурах.
Оказывается, что в разветвленной цепи,
состоящей из
ветвей (участков цепи между соседними
узлами) и
узлов, число возможных независимых
уравнений (26.2) равно
.
Должно быть составлено столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин, так же в систему уравнений должны входить все сопротивления и ЭДС рассматриваемой цепи.
Рис.
26.2
Составим систему
уравнений, применяя правила Кирхгофа,
для цепи изображенной на рис. 26.2.
Направление токов
выбрали произвольно, как обозначено на
рисунке. По первому правилу составим 1
уравнение (на одно меньше количества
узлов) для узла А.
По второму правилу составим 2 уравнения
для контуров А
В
А
и А
В
А.
Направление обхода контуров выбрали
по часовой стрелке.
(26.4)
Зная величины сопротивлений и ЭДС, можно определить силы токов, решив эту систему уравнений.