§17. Взаимная электроемкость. Конденсаторы.

В предыдущем параграфе мы рассмотрели электроемкость уединенного проводника. Если проводник А не уединенный, т.е. вблизи него имеются другие проводники (рис. 17.1), то его электроемкость, больше, чем у такого же, но уединенного проводника. Дело в том, что при сообщении проводнику А заряда окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему заряду оказываются заряды противоположного знака. Эти заряды несколько ослабляют поле, создаваемое зарядом . Таким образом, они понижают потенциал проводника А и повышают его электроемкость.

рис. 17.1

Наибольший практический интерес представляет система, состоящая из двух близко расположенных друг от друга проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Обозначим разность потенциалов между проводниками через , а абсолютную величину их зарядов — через . Если проводники находятся вдали от каких бы то ни было заряженных тел и иных проводников, то, как показывает опыт, разность потенциалов пропорциональна заряду , т.е.

, (17.1)

где — взаимная электроемкость двух проводников:

, (17.2)

Взаимная электроемкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

Взаимная электроемкость двух проводников зависит от их формы, размеров и взаимного расположения, а также от относительной диэлектрической проницаемости среды. Если среда однородна, то электроемкость пропорциональна . Из сравнения (17.2) и (16.1) ясно, что взаимная электроемкость имеет ту же размерность и выражается в тех же единицах, что и электроемкость уединенного проводника.

Если один из проводников удалять в бесконечность, то разность потенциалов между ними будет возрастать, а их взаимная электроемкость убывать, стремясь к значению электроемкости уединенного первого проводника.

Особенно важным для практики является случай, когда два разноименно заряженных проводника имеют такую форму и так расположены друг относительно друга, что создаваемое ими электростатическое поле полностью или почти полностью сосредоточено в ограниченной части пространства. Такая система двух проводников называется конденсатором, а сами проводники — его обкладками. Т.о. конденсатор – это система из двух разноименно заряженных проводников, разделенных между собой диэлектриком.

Электроемкость конденсатора представляет собой взаимную емкость его обкладок и выражается формулой (17.2).

В качестве обкладок обычно используется тонкая металлическая фольга, а диэлектрики могут быть твердыми, жидкими и газообразными, а именно бумажные, металлобумажные, пленочные, металлопленочные, слюдяные, керамические, стеклоэмалевые и воздушные конденсаторы. Существуют конденсаторы постоянные (емкость которых нельзя изменить), полупеременные (подстроечные) и переменные.

В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, сферические (шаровые) и цилиндрические.

Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин площадью каждая, расположенных на близком расстоянии одна от другой и несущих заряды и . Если линейные размеры пластин велики по сравнению с расстоянием , то электростатическое поле между пластинами можно считать эквивалентным полю между двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно с численно равными поверхностными плотностями заряда и .

Заменим в выражении (17.2) . Тогда

, (17.3)

где — относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами.

Формулу (17.3) можно проверить опытным путем. Пластина А заряженного воздушного конденсатора (рис. 17.2) соединена с электрометром, корпус которого заземлен; пластина конденсатора В также заземлена. При увеличении расстояния между пластинами электрометр показывает увеличение разности потенциалов между ними. Следовательно, электроемкость конденсатора уменьшается с возрастанием расстояния .

рис. 17.2

Заменяем при неизменном расстоянии слой воздуха между пластинами другим диэлектриком с большей относительной диэлектрической проницаемостью, например стеклянной пластиной. Тогда электрометр показывает уменьшение разности потенциалов между пластинами. Следовательно, электроемкость конденсатора увеличилась.

Наконец, если сдвинуть одну из пластин в сторону (рис. 17.3) и уменьшить таким образом действующую площадь пластин (заштрихована на рисунке), то разность потенциалов между пластинами возрастет, а электроемкость конденсатора уменьшится.

рис. 17.3

Рассмотрим сферический конденсатор. Он состоит из двух концентрических металлических обкладок А и В сферической формы, радиусы которых соответственно равны и (рис. 17.4). Пусть —заряд обкладки А, а — обкладки В. Известно, что равномерно заряженная сфера создает электростатическое поле только в области пространства, лежащей вне этой сферы. Вне конденсатора поля разноименно заряженных обкладок А и В взаимно уничтожаются, а поле в области между обкладками создается только зарядом обкладки А. Поэтому разность потенциалов между обкладками можно определить по формуле

. (17.4)

Подставив в (17.2) значение (17.4), получим

. (17.5)

Рис. 17.4

При внутреннюю обкладку сферического конденсатора можно рассматривать как уединенный шар. В этом случае и формула (17.5) принимает вид

. (17.6)

При любом конечном значении

т. е. электроемкость сферического конденсатора больше электроемкости уединенного шара радиуса .

Если то можно считать . Тогда

,

т.е. электроемкость сферического конденсатора можно вычислять как электроемкость плоского конденсатора.

Электростатическое поле между обкладками сферического конденсатора обладает центральной симметрией. Поэтому его применяют при весьма точных лабораторных исследованиях.

Цилиндрический конденсатор состоит из двух полых коаксиальных металлических цилиндров с радиусами и , вставленных один в другой (рис. 17.5). Пусть заряды на обкладках равны и , а высота цилиндров и . Тогда, пренебрегая искажениями поля вблизи краев конденсатора, можно вычислить разность потенциалов между обкладками для поля, создаваемого бесконечно длинным прямым цилиндром равномерно заряженным с постоянной линейной плотностью

. (17.7)

рис. 17.5

Подставив значение в (17.3), получим выражение для электроемкости цилиндрического конденсатора:

. (17.8)

Если зазор между обкладками цилиндрического конденсатора мал по сравнению с то и

. (17.9)

где — площадь обкладки, — толщина слоя диэлектрика.

Из формул, полученных для электроемкости конденсаторов различной формы, следует, что электроемкость любого конденсатора пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости вещества, заполняющего зазор между обкладками.

Конденсатор характеризуется не только электроемкостью, но и так называемым «пробивным напряжением» — разностью потенциалов между его обкладками, при которой может произойти пробой, т.е. электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.