МАТЕМАТИКА

Профиль

«Информатика и информационные технологии в образовании».

КУРС ЛЕКЦИЙ

Тема I -множества

План лекции

1. Понятие множества, геометрическая интерпретация числовых множеств на числовой прямой.

2. Операции с числовыми множествами (объединение, пересечение).

3. Декартово произведение множеств.

Конспект лекции.

1. Множество – основное понятие, оно не определяется, вводится на примерах: множество жителей города - конечное, множество натуральных чисел N={1;2;3;…n…}-бесконечное. Каждое множество состоит из элементов: a;b;c;…m; 1;2;3;…n…; ( ) - элемент а принадлежит множеству А; если В={x| }, то -пустое. Множества чисел, расположенных между двумя данными числами, иллюстрируются числовой прямой: прямой линией с началом координат (точкой О), направлениями и масштабом: (множество действительных чисел: R= ; отрезок: ; интервал: (a;b)={x|a<x<b}; полуинтервалы: и ; лучи: и ;открытые лучи: и . Для множеств А={2;4;6;8} и B={4;6}: все элементы В являются элементами множества А; множество В –подмножество (правильная часть) множества А: ; Связь множества и его подмножества – отношение включения, для него выполняются свойства: [1]. - рефлексивности; [2]. Из и следует - транзитивности; [3]. . Отношение иллюстрируется рисунком, где множества изображаются в виде овалов; это диаграммы (круги) Эйлера – Венна. Если для множеств для А и В выполняется и , то А и В состоят из одних и тех же элементов: ; А и В связаны отношением равенства, свойства: [4]. А= А –рефлексивности; [5]. Из А=В следует В=А – симметричности; [6]. Из А=В и В=С следует А=С –транзитивности.

2. Объединение множеств А и В –новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А и В: или (союз «или» имеет «неразделительный» смысл: в объединение А и В включены элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств). Можно объединить и большее число множеств. Свойства: [1]. А В=В ; [2]. . Например, для А=[2;6) и B=( ;3] объединение - множество С=А В= =[2;6) ;3]=(- ;6). Объединение множеств используется при решении, например, неравенств первой степени: для неравенства |х-4|>1 надо найти множество А={х||х-4|>1}. Так как |х-4|>1 равносильно совокупности двух неравенств (a) х-4>1 или (b)х-4<-1 (х>5 или х<3), то {x||x-4|>1}= {x|x>5} {x|x<3} = (5; ) (- ;3). Пересечение множеств А и В –новое множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат как А, так и В: .Свойства: [3].A B=B A; [4]. A (B C)=(A B) C. Например, пересечение А=[2;6) и B=( ;3] –это множество С=А В=[2;6) ( ;3]=[2;3]. Операция пересечения множеств используется при решении неравенств первой степени: для |x-4|<1 надо найти множество А={x||x-4|<1}. Неравенство |x-4|<1 равносильно двойному неравенству –1<x-4<1, поэтому x-4>-1, х>3 (а); x-4<1, х<5 (b) и {x|x-4|<1}= {x|x<5} {x|x>3} = [5]. Если два множества не имеют общих элементов, то А В= (множества непересекающиеся). [6]. A =A; A = .Разность множеств А и В –новое множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В: А\B=C, A\B={x|x A,x B}. Если же В А, то разность A\B= называется дополнением множества В до множества А. Операции объединения и пересечения множеств являются основой для разбиения множества на классы. При разбиении, например, множества U- всех треугольников на 2 класса при помощи одного свойства «быть равносторонним» из U выделяется подмножество А «равносторонних треугольников», остается подмножество «разносторонних треугольников», при этом: Свойство «быть равносторонним» разбило множество треугольников U на два класса. Разбиение множества на попарно-непересекающиеся множества называется разбиением множества на классы, полученные классы называются классами разбиения.

3.Два элемента множества x и y образуют упорядоченную пару: (x;y); в паре (x;y) элемент (х) - первая компонента, (y) - вторая компонента. Равные упорядоченные пары - это пары вида и ( ) при ; если x y, то пары (x,y) и (y,x) различны. Если компоненты х и y принадлежат разным множествам ( ), то можно построить декартово произведение множеcтв X и Y: Х={2,4}, Y={a,b,c}, декартово произведение : {(2;a); (4;a);(2;b);(4;b);(2;c);(4;c)}. Геометрически. если то каждой паре (x,y) соответствует одна и только одна точка плоскости в данной системе координат, и обратно, каждой точке плоскости соответствует одна и только одна пара действительных чисел. Декартово произведение множеств X и Y –это множество всех упорядоченных пар вида (x,y) таких, что : X Y={(x,y)|x .Свойства: [1].X , [2]. X

Декартово произведение множеств изображается в виде чертежа в декартовой системе координат: на оси ОХ откладывают элементы множества Х, на оси OY – элементы множества Y. Тогда точка плоскости, первая координата которой х , а вторая y , является элементом декартова произведения. Например, декартово произведение множеств Х={3,4,5} и Y=[-2,4) изображено на рисунке (Рис.1):

Рис. 1