3.11 Хаотические колебания

Основные понятия

Описанная теория называется локальной, потому что она описывает динамическое поведение лишь в окрестности каждой точки равновесия. Основная цель классического динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных картин и описания глобальной картины траекторий между точками равновесия.

Такой анализ возможен, когда пучки различных траекторий, соответствующих разным начальным условиям, движутся более или менее когерентно, как ламинарный поток жидкости. Это происходит, если фазовое пространство имеет только два измерения. Однако если присутствуют три или более уравнений первого порядка, то пучки траекторий могут разбегаться и запутываться, создавая то, что мы теперь называем хаотическим движением.

Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система «притягивается» к одному из трех перечисленных состояний. Однако существует другой класс движений, характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов. Этот новый класс движений – движения хаотические в том смысле, что они непредсказуемы, если присутствует малая неопределенность начальных условий. Этот класс движений часто связан с состоянием, называемым странным аттрактором.

Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве:

- равновесному состоянию – точка,

- периодическому движению или предельному циклу – замкнутая кривая,

- квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве.

Странный аттрактор связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики – новые методы эксперимента.

Отображения и потоки

Математические модели динамики в общем случае могут иметь один из трех видов:

• дифференциальные уравнения (или потоки),

• разностные уравнения (называемые отображениями)

• символические динамические уравнения.

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические.

В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (R) или левой (L). Тогда траектория может описываться последовательностью символов LRRLRLLLR, .... Периодическая орбита может иметь вид LRLR ... или LLRLLR .... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов.

В колебательных системах с периодической вынуждающей силой отображение Пуанкаре можно получить, стробоскопически измеряя динамические переменные в моменты, соответствующие определенной фазе вынуждающего движения. В задаче с переменными сечение Пуанкаре получается в результате измерения переменных в те моменты, когда -я переменная принимает некоторое определенное значение или когда траектория в фазовом пространстве пересекает некоторую произвольную плоскость, как показано на рисунке. Если известен закон эволюции в промежутке между двумя пересечениями выбранной плоскости, то можно связать положение траектории в моменты , и с помощью известных функций. Например, в случае, показанном на рисунке:

и .

Математические методы исследования таких отображений подобны методам исследования дифференциальных уравнений.

Можно найти равновесные или неподвижные точки отображения и произвести классификацию этих точек с помощью анализа отображения, линеаризованного вблизи данной точки покоя.

Если есть отображение общего вида для, скажем, переменных, составляющих вектор , то точка покоя удовлетворяет уравнению .

Рисунок 1.69 - Сечение Пуанкаре – составление разностного уравнения (отображения) для динамической модели с непрерывно меняющимся временем

Итерацию отображения часто записывают в виде . При такой записи уравнение для " -цикла" или -периодической орбиты, т. е. точки покоя, повторяющейся после итераций отображения, имеет вид .

Эти рассуждения подразумевают, что при непрерывной эволюции периодические движения соответствуют точкам покоя разностных уравнений, полученных с помощью сечения Пуанкаре. Итак, объекты, наиболее часто исследуемые при изучении перехода от периодического движения к хаотическому, – это простые одномерные и двумерные отображения.

Пример хаоса

Простейшим примером динамической модели, обнаруживающей хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое уравнение, или уравнение роста популяции .

Первый член в правой части описывает рост или рождение, а нелинейный член ответствен за ограничение роста, связанное, например, с ограниченностью энергетических или пищевых ресурсов. Если пренебречь нелинейным членом , то можно выписать явное решение получающегося линейного уравнения: ,

Это решение устойчиво при и неустойчиво при . В последнем случае из линейной теории следует нереалистичное предсказание неограниченного роста.

Нелинейную модель обычно переписывают в безразмерном виде .

При имеются две точки равновесия (т. е. ).

Для выяснения устойчивости отображения следует вычислить величину наклона в точке покоя. Если , точка покоя неустойчива.

При логистическое уравнение имеет две точки покоя: . При этом начало координат – неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива.

Однако при наклон при превышает единицу и обе точки равновесия становятся неустойчивыми.

При значениях параметра , заключенных между 3 и 4, это простое разностное уравнение описывает множество многопериодических и хаотических движений. При становится неустойчивым стационарное решение, но остается устойчивым бицикл или двупериодическая орбита. Эта орбита показана на рисунке. Величина повторяется через каждую итерацию.

При дальнейшем увеличении двупериодическая орбита становится неустойчивой и возникает цикл с периодом 4, который вследствие бифуркации быстро заменяется циклом с периодом 8 при еще больших значениях . Этот процесс удвоения периода продолжается до тех пор, пока не достигает значения 3,56994 ....

Вблизи этого значения последовательность значений параметра, при которых происходят удвоения периода, подчиняется точному закону

4,66920.

Это предельное отношение называется числом Фейгенбаума – по имени физика, который обнаружил эти свойства рассматриваемого отображения(рисунок 1.70).

Рисунок 1.70 - Возможные типы решений логистического уравнения (квадратичного отображения)

При значениях , превышающих , могут возникать хаотические итерации, т. е. поведение модели на больших временах не укладывается в рамки простого периодического движения. В интервале также присутствуют определенные узкие интервалы , для которых существуют периодические орбиты.

Удвоение периода и отношение Фейгенбаума обнаруживаются во многих физических экспериментах. Это означает, что во многих непрерывных эволюционных процессах сведение к разностному уравнению с помощью сечения Пуанкаре приводит к квадратичному отображению; отсюда следует важная роль отображений в исследовании дифференциальных уравнений.

Заключительные замечания. Динамика – старейший раздел физики. И тем не менее через 300 лет после публикации Principia Ньютона (1687) появляются все новые открытия. Появившиеся за это время идеи Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Пуанкаре, родившись в небесной механике, проникли теперь во все области физики. Так же как новая наука, динамика, породила в XVII в. дифференциальное исчисление, в наше время нелинейная динамика ввела в обиход такие новые идеи геометрии и топологии как фракталы, без освоения которых ученому XX в. не удастся полностью понять предмет исследований.

Идеями хаоса западная мысль обязана еще древним грекам. Сами эти идеи сводились к объяснению порядка в том мире, который возник из первобытного мира – бесформенного, хаотичного и неупорядоченного. Но уже в восточной мысли, в частности, в даосизме хаос ассоциируется со структурами, вложенными в структуры, вихрями, вложенными в вихри, как это происходит, например, в течении жидкостей.

Вплоть до последнего десятилетия XX в. в динамике преобладало представление, что порядок возникает из окружающего бесформенного хаоса, и этот порядок узнается лишь по предсказуемой периодической структуре. Теперь эту точку зрения вытесняет другая концепция хаотических явлений. Они возникают согласно регулярным законам и за ними стоит не бесформенный хаос, но хаос с сокрытым порядком, фрактальными структурами. На пути этого изменения парадигм мы руководствуемся новыми математическими представлениями нашего «упорядоченного» мира.

Как обнаружить хаотические колебания

Инженерам часто приходится отыскивать источник нежелательных колебаний, возникающих в физических системах. Возможность классификации природы колебаний может подсказать пути контроля над ними. Например, если система считается линейной, то сильные периодические колебания могут возникать из-за резонансных эффектов.

Однако если система нелинейная, то периодические колебания могут возбуждаться из-за существования предельного цикла, который в свою очередь можно связать с динамической неустойчивостью системы.

Для выявления непериодических, или хаотических, движений предлагаются следующие действия:

- выявите нелинейные элементы системы;

- проверьте, присутствуют ли источники случайных внешних воздействий;

- рассмотрите временную эволюцию измеряемого сигнала;

- поинтересуйтесь эволюцией на фазовой плоскости;

- исследуйте фурье-спектр сигнала;

- получите отображение Пуанкаре сигнала;

- измените параметры системы (пути к хаосу).

Ниже мы разберем эти пункты представленного списка и опишем признаки хаотических колебаний. Чтобы конкретизировать обсуждение, для иллюстрации признаков хаотической динамики выбраны колебания изогнутого стержня (задача с парой потенциальных ям).

Для диагностики хаотических колебаний необходимо ясное определение такого движения. Однако по мере того, как новые исследования раскрывают новые сложности нелинейной динамики, строгие определения оказываются ограниченными определенными классами математических задач. Это создает трудности для экспериментатора, поскольку его цель – выяснить, какая математическая модель наилучшим образом описывает данные. Поэтому на данном этапе развития этой науки мы используем одновременно ряд диагностических критериев и рассматриваем различные классы хаотических движений. Экспериментаторам рекомендуется применять по два и более тестов, чтобы получить адекватную картину хаоса.

Возможны следующие классы движений в нелинейных детерминированных системах.

Предсказуемое регулярное движение: периодические колебания, квазипериодическое движение; нечувствительно к изменениям параметров и начальных условий.

Непредсказуемое регулярное движение: множественные регулярные аттракторы (допустим более чем один тип периодического движения); длительное движение чувствительно к начальным условиям.

Переходный хаос: движения, которые кажутся хаотическими и имеют характерные для странного аттрактора свойства (обнаруживаемые по отображению Пуанкаре), но в конце концов вырождаются в регулярное движение.

Перемежаемый хаос: периоды регулярного движения, прерываемого переходными вспышками хаотического движения; длительность периодов регулярного движения непредсказуема.

Ограниченный, или узкополосный, хаос: хаотические движения, орбиты которых проходят в фазовом пространстве вблизи от орбит некоторых периодических или регулярных движений; их спектры часто обнаруживают небольшое или ограниченное расширение определенных частотных компонент.

Слабый крупномасштабный или широкополосный хаос: динамические процессы можно охарактеризовать с помощью орбит в фазовом пространстве малого числа измерений (от 1 до 3 мод в механических системах). Обычно удается измерить фрактальную размерность, которая оказывается меньшей 7; хаотические орбиты охватывают обширные области фазового пространства; спектры состоят из широкого набора частот, особенно меньших частоты возбуждения (если последнее присутствует)

Сильный крупномасштабный хаос: динамические свойства можно описать только в фазовом пространстве очень большого числа измерений; присутствует большое число существенных степеней свободы; трудно получить надежную оценку фрактальной размерности; до сих пор не существует динамической теории явления.

Чтобы помочь разобраться в растущем числе определений и классов хаотических движений, мы перечислим наиболее распространенные признаки без математических формул, но с указанием в скобках наиболее приемлемого диагностического метода.

Признаки хаотических колебаний

В настоящее время можно утверждать с достаточной долей уверенности о существовании следующих признаков появления хаотических колебаний.

Во-первых, чувствительность к изменению начальных условий (часто измеряемая показателем Ляпунова и границами фрактальной области).

Во-вторых, широкий фурье-спектр движения, возбуждаемого на одной частоте (получаемый быстрым преобразованием Фурье, с помощью современных электронных анализаторов спектра).

В-третьих, фрактальные свойства движения в фазовом пространстве, которые указывают на присутствие странного аттрактора (и характеризуются отображениями Пуанкаре и фрактальными размерностями).

В-четвертых, Растущая сложность регулярных движений по мере изменения некоторого параметра эксперимента, например удвоение периода (часто можно получить число Фейгенбаума).

В-пятых, Переходные или перемежаемые хаотические движения; непериодические всплески нерегулярного движения (перемежаемость) или первоначально неупорядоченное движение, которое, в конце концов, релаксирует к регулярному. Методы экспериментального исследования бедны, но включают измерение средней длительности хаотических всплесков или переходных режимов в зависимости от значения какого-либо параметра. Автомодельная зависимость может подсказать верную математическую модель.