3.9 Колебания упругих элементов оборудования

Линейные колебания

Классическая парадигма теории линейных колебаний – это система из массы и пружины, показанная на рисунке 1.52.

Если отсутствуют возмущающие силы и трение, то система колеблется с частотой, независимой от амплитуды колебаний:

.

Рисунок 1.52 - Классический механический осциллятор с пружиной, массой и демпфером

В таком состоянии энергия попеременно переходит из упругой энергии пружины в кинетическую энергию массы, и наоборот.

Включение затухания делает свободные колебания затухающими, так что амплитуда колебаний массы имеет следующую временную зависимость:

,

где .

Говорят, что затухание до критическое, когда критическое, когда , и сверхкритическое, когда .

Одно из классических явлений в линейных колебательных системах – резонанс при гармоническом возбуждении. Дифференциальное уравнение, описывающее систему в этих условиях, имеет вид:

.

Если при постоянной амплитуде изменять вынуждающую частоту , то абсолютная величина стационарного смещения массы достигает максимума вблизи естественной частоты , а более точно – при . Это явление изображено на рисунке. для вынужденного движения линейного осциллятора с затуханием.

Эффект выражен ярче при слабом затухании. В структурированных системах это явление широко распространено, и инженеры хорошо знакомы с проблемой усталостного разрушения конструкций и машин при сильных резонансных колебаниях.

Если линейная механическая система имеет много степеней свободы, ее часто моделируют системой связанных осцилляторов из пружин и масс, обнаруживая при гармоническом возбуждении появление множества резонансных частот. Такое поведение часто наталкивало на предположение, что каждый максимум в спектре колебаний соответствует, по меньшей мере, одной степени свободы.

Рисунок 1.53 - Классические резонансные кривые (зависимость амплитуды отклика от частоты)

В нелинейных колебательных системах это не так. В отличие от своего линейного аналога, нелинейная система с одной степенью свободы может возбудить много частот. В любом случае математическая теория линейных систем хорошо разработана и запрограммирована в мощных пакетах математического обеспечения для компьютеров. Другое дело – нелинейные задачи.

Нелинейные колебания

Нелинейные эффекты могут проявиться многими разнообразными способами. Классический пример – это нелинейная пружина, в которой восстанавливающая сила нелинейно зависит от растяжения. В случае симметричной нелинейности (одинаковый отклик при сжатии и растяжении) уравнение движения принимает вид

.

Если затухание отсутствует и , имеются периодические решения, в которых при естественная частота увеличивается с амплитудой. Эта модель часто называется уравнением Дуффинга по имени изучавшего ее математика (рисунок 1.54).

Если на систему воздействует периодическая сила, то в классической теории полагают, что и отклик будет периодическим. Резонанс нелинейной пружины при частоте отклика, совпадающей с частотой силы, показан на рисунке.

Рисунок 1.54 - Классическая резонансная кривая нелинейного осциллятора с жесткой пружиной в случае, когда колебания периодичны и имеют тот же период, что и вынуждающая сила ( и  определяются в уравнении)

При постоянной амплитуде вынуждающей силы существует диапазон вынуждающих частот, в котором возможны три различных значения амплитуды отклика. Можно показать, что штриховая линия неустойчива, и при росте и уменьшении частоты происходит гистерезис. Это явление называется перебросом, и оно наблюдается в экспериментах со многими механическими и электрическими системами.

Существуют и другие периодические решения, такие, как субгармонические и супергармонические колебания.

Если вынуждающая сила имеет вид , то субгармонические колебания могут иметь вид плюс более высокие гармоники ( – целое число).

Теория нелинейного резонанса зиждется на предположении, что периодическое воздействие вызывает периодический отклик. Однако именно этот постулат оспаривает новая теория хаотических колебаний.

Самовозбуждающиеся колебания – другой важный класс нелинейных явлений. Это колебательные движения, которые происходят в системах без периодических внешних воздействий или периодических сил (рисунок 1.55).

Рисунок 1.55 - Примеры самовозбуждающихся колебаний: а – сухое трение между массой и движущимся ремнем;

б – аэроупругие силы, действующие на тонкое крыло

В первом примере к колебаниям приводит трение, создаваемое относительным движением массы и движущегося ремня.

Второй пример иллюстрирует целый класс аэроупругих колебаний, при которых, стационарные колебания вызывает стационарный поток жидкости за твердым телом на упругой подвеске.

В этих примерах в системе присутствуют стационарный источник энергии и источник диссипации, или нелинейный демпфирующий механизм. В математическую модель этой цепи источник энергии входит в виде отрицательного сопротивления (уравнение Ван дер Поля):

.

Энергия может поступать в систему при малых амплитудах, но при увеличении амплитуды ее рост ограничивается нелинейным затуханием.

При анализе уравнения Ван дер Поля, удобно перейти к безразмерным переменным, нормировав пространственную переменную на , а время – на , так что уравнение принимает вид

,

где .

При решении уравнения его представляют в виде ситемы уравнений первого порядка

Колебательные движения таких систем часто называются предельными циклами. На рисунке 1.56 показаны траектории осциллятора Ван дер Поля на фазовой плоскости. Малые колебания раскручиваются по спирали, приближаясь к замкнутой асимптотической траектории, а движения большой амплитуды стягиваются по спирали к тому же предельному циклу (где ).

Рисунок 1.56 - Решение с предельным циклом для осциллятора Ван дер Поля, изображенное на фазовой плоскости

При изучении подобных проблем часто возникают два вопроса. Какова амплитуда и частота колебаний на предельном цикле? При каких значениях параметров существуют устойчивые предельные циклы?

При малых , предельный цикл представляет собой окружность радиуса 2 на фазовой плоскости, т. е. , где через + ... обозначены гармоники третьего и более высоких порядков.

При больших движение приобретает вид релаксационных колебаний, показанных на рисунке 1.57 с безразмерным периодом около 1.61 при .

Рисунок 1.57 Релаксационные колебания осциллятора Ван дер Поля

Более сложна задача с периодической силой в системе Ван дер Поля:

.

Поскольку система нелинейная, неприменим принцип суперпозиции свободных и вынужденных колебаний. Вместо этого возникающее периодическое движение захватывается на вынуждающей частоте, когда она близка к частоте предельного цикла.

При слабом внешнем воздействии имеются три периодических решения, но лишь одно из них устойчиво (см. рисунок). При больших значениях амплитуды силы существует только одно решение. В любом случае с увеличением расстройки фиксированном захваченное периодическое решение оказывается неустойчивым и становятся возможными другие типы движения.

При больших отличиях вынуждающей и собственной частот в системе Ван дер Поля появляется новое явление – комбинационные колебания, иногда называемые почти периодическими или квазипериодическими решениями, вида

.

Когда частоты и несоизмеримы, т. е. – иррациональное число, решение называется квазипериодическим. Для уравнения Ван дер Поля , где – частота предельного цикла свободных колебаний (рисунок 1.58).

Рисунок 1.58 - Амплитудные кривые для вынужденного

движения осциллятора Ван дер Поля

Ниже мы еще поговорим о квазипериодических колебаниях, но, поскольку они не периодичны, их можно спутать с хаотическими решениями, каковыми они не являются. (Для них спектр Фурье решения состоит из двух пиков при , )

Когда , и несоизмеримы, фазовый портрет решения представляет собой незамкнутую траекторию, и для графического представления квазипериодических функций используется другой способ.

Делается стробоскопическая выборка с интервалом ; положим и обозначим , .

Тогда соотношение сводится к

Рисунок 1.59 - Стробоскопическое изображение на фазовой плоскости квазипериодических решений для осциллятора Ван дер Поля

С ростом точка смещается вдоль эллипса, лежащего в стробоскопической фазовой плоскости (называемой сечением Пуанкаре), как показано на рисунке 1.59. Если , иррационально, то множество точек при заполняет замкнутую линию, уравнение которой имеет вид

.

Существует три классических типа динамического движения:

• равновесие;

• периодическое движение, или предельный цикл;

• квазипериодическое движение.

Локальная геометрическая теория динамики

Идеи современной нелинейной динамики часто представляют в геометрической форме или в виде рисунков. Например, движение осциллятора без затухания , можно представить на фазовой плоскости в виде эллипса. На таком рисунке время представлено неявно, и временная эволюция описывается движением вдоль эллипса по часовой стрелке. Размер эллипса зависит от задания начальных условий для .

При исследовании нелинейных задач сначала следует найти точки равновесия системы, а затем рассмотреть движение вокруг каждого положения равновесия. Локальное движение характеризуется свойствами собственных значений линеаризованной системы.

Если динамическую модель можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка ,где – вектор, компоненты которого – параметры состояния, то точки равновесия определяются равенством , или .

Например, в случае гармонического осциллятора имеется только одна точка равновесия, расположенная в начале координат: , , . Для выяснения характера поведения вблизи следует разложить функцию в ряды Тейлора вблизи каждой точки равновесия и рассмотреть линеаризованные задачи.

В качестве примера рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

Если время не входит явно в функции и , то задача называется автономной. Координаты точек равновесия должны удовлетворять двум уравнениям: и . Вводя малые отклонения от каждого из положений равновесия, т. е. и , перепишем систему в виде

,

где производные вычисляются в точке .

Характер движения вблизи каждой из точек равновесия выясняется с помощью собственных решений

,

где и – постоянные.

Движения классифицируются на основе того, действительно или комплексно , и в зависимости от знака действительной части .

Траектории на фазовой плоскости при разных собственных значениях показаны на рисунке. К примеру, седловая точка возникает, когда оба собственных значения действительны, но 0, а 0. Спираль соответствует случаю, когда и комплексно-сопряженные.

Устойчивость решения линеаризованной системы определяется знаком . Когда действительная часть одного из чисел или положительна, движение вблизи этой точки равновесия неустойчиво.

Рисунок 1.60 - Классические фазовые портреты окрестностей четырех различных типов точек равновесия системы двух дифференциальных уравнений, не содержащих явной зависимости от времени

Если корни не являются чисто мнимыми, то локальное движение, описываемое линеаризованной системой, подобно движению исходной нелинейной системы.

Чисто колебательное движение линеаризованной системы делает необходимым дальнейший анализ для выяснения вопроса об устойчивости нелинейной системы. Эти идеи, изложенные для системы второго порядка, можно обобщить на случай фазового пространства большей размерности.

Неустойчивости линейного осциллятора

Рассмотрим в общих чертах некоторые из основных идей теории устойчивости.

Здесь масса удерживается упругой пружиной с жесткостью и амортизирующим демпфером, который создает вязкую силу , противоположную скорости .

Изображая график зависимости перемещения от времени , получаем картину затухающих колебаний, характерных для движения маятника в воздухе (см. рисунок).

Рисунок 1.61 - Поведение линейного осцилятора с затуханием

В фазовом пространстве переменных и имеется устойчивый фокус, переходящий в окружности или эллипсы для незатухающей системы.

Трехмерный график такого асимптотически устойчивого поведения показан на следующем рисунке в пространстве переменных , и .

Уравнение движения осциллятора имеет следующий вид:

.

Уравнение движения, отнесенное к массе и имеющее удобную стандартную форму . Экспоненциальное решение данного уравнения имеет вид , где – корни характеристического уравнения .

В рассматриваемом случае характеристическое уравнение квадратично по .

Решение зависит от корней характеристического уравнения, которые будут действительными или комплексными в зависимости от знака дискриминанта .

Если дискриминант положителен , имеются два действительных корня, и, как и предполагалось, решение ведет себя экспоненциально.

Если же дискриминант отрицателен , уравнение имеет два комплексно сопряженных корня и дает решение вида .

Таким образом, осциллятор с демпфером становится неустойчивым, если хотя бы один из корней имеет положительную действительную часть (рисунок 1.62).

Рисунок 1.62 - Траектории в случае устойчивого и неустойчивого фокуса: а – устойсивый фокус; б – неустойчивый фокус

При решении уравнения его наиболее часто представляют в следующем виде . Выражение для дискриминанта равно .

Если начальные условия заданы в виде: и при , то для случая, когда решение запишется:

,

а при – в виде

,

где .

Умножим каждый из членов уравнение на скорость (скорость) и после не сложных преобразований получим:

.

Величина, стоящая в скобках, – это с точностью до постоянного множителя полная энергия осциллятора.

При он равен начальной энергии осциллятора, которая зависит от его положения и начальной скорости. Член в правой части учитывает диссипацию энергии. Когда коэффициент положителен, то со временем полная энергия уменьшается до тех пор, пока не обратиться в нуль и линейный осциллятор при описывает затухающие колебания.

Однако коэффициент может быть и отрицательным в том случае если движение осциллятора порождает силы, увеличивающие это движение. Например, в клапанных механизмах подкачки энергии. При линейный осциллятор описывает нарастающие колебания или не колебательный уход от состояния равновесия.

Возможные типы поведения осциллятора изображены на рисунке. Если жесткость велика и затухание мало, то корни комплексные и имеется устойчивый фокус.

Если уменьшать жесткость в направлении горизонтальной стрелки, то, как только пересекается парабола критического затухания , корни становятся действительными и фазовый портрет превращается в устойчивый узел.

Нагрузка на упругую конструкцию может вызвать статическую потерю устойчивости, при которой эффективная жесткость системы меняется с положительной на отрицательную. Эта статическая неустойчивость, характеризуемая появлением смежного положения равновесия, изображается горизонтальной стрелкой.

Рисунок 1.63 - Фазовый портрет и структура корней для линейного осциллятора

Если же гибкая упругая конструкция подвергается силовому воздействию, скажем, ветра, то порыв ветра может вызвать галопирование конструкции, при котором эффективное затухание становится отрицательным, как показано вертикальной стрелкой.

При этой динамической неустойчивости устойчивый фокус переходит в неустойчивый, которому соответствует растущее колебательное движение. При движении вдоль каждой из стрелок перемещения линейной системы становятся бесконечными в точке перехода к неустойчивому режиму, однако на поведение реальной системы обычно оказывают влияние нелинейные эффекты. Этот вопрос мы будем обсуждать в следующем разделе.

Консервативная система без демпфирования с центром эллиптических траекторий в действительности представляет критический промежуточный случай между устойчивой и неустойчивой областями, и рассмотрение упругой устойчивости без демпфирования приводит к патологическим корням, изображенным на рис. а.

Любое положительное приводит к неустойчивости. Устойчивым системам соответствуют только точки положительного квадранта (рисунок 1.64 б).

Рисунок 1.64 - Механизмы неустойчивости  – статическая неустойчивость;  – динамическая неустойчивость;  – упругая неустойчивость

Об этом часто забывают, и пренебрежение демпфированием, которое несущественно для некоторых консервативных систем, может привести к парадоксальным результатам для гироскопических и вращательных систем.