3.6 Расчет надежности по основным критериям

Случайная природа действующих нагрузок

Случайная природа нагрузки обычно связана со следующими факторами.

Для технологических машин:

- рассеяние объектов производства в пределах универсальности машин и иногда вынужденное расширение регламентированного диапазона использования;

- использование машин в разных видов мелкосерийного, серийного, крупносерийного и массового производства;

- технологическое рассеяние свойств заготовок (припусков, правильности форм, твердости);

- рассеяние состояния инструмента (углов резания, затупления и др.);

- вариации технологических процессов;

- ненормальности эксплуатации. В том числе недопустимое форсирование режимов, поломка инструмента, глубокое врезание в заготовку, переохлаждение заготовки при горячей обработке.

Внутренняя динамика машин. Динамические нагрузки, возникающие:

- от работы зубчатых передач и других передач и механизмов;

- от неуравновешенности;

- от пусков;

- от остановок;

- от переключения скоростей;

перераспределения нагрузок в двух и много контактных передачах и соединениях.

Спектры нагрузок машин и отдельных деталей могут быть дискретными или непрерывными.

Дискретные спектры (смотри рисунок) представляют в координатах:

- нагрузка – относительная продолжительность ее действия (рисунок 1.22 а);

- суммарная продолжительность действия нагрузки – нагрузка (рисунок 1.22 б) в порядке убывания (ранжированный спектр).

Рисунок 1.22 - Дифференциальная (а) и интегральная

(б) формы дискретного спектра нагрузок

Первая форма может рассматриваться как дифференциальная, вторая как интегральная.

Для непрерывного спектра нагрузок задают функцию плотности распределения (рисунок а) или интегральную функцию

.

Последняя физически означает долю продолжительности действия нагрузки меньше данной величины или соответствующую вероятность, что нагрузка меньше данной величины.

Практически чаще пользуются интегральными графиками непрерывных распределений (рисунок 1.23 б) в координатах ранжированного спектра, т. е. нагрузка откладывается по оси ординат, а соответственно по оси абсцисс – функция , которая означает долю продолжительности действия нагрузки больше данной величины или соответствующую вероятность.

Использование непрерывного плавного спектра в расчетах не всегда удобно, поэтому в целях упрощения функции и могут быть заменены ступенчатыми кривыми. Для этого интервал возможных нагрузок разбивают на равномерные участки . Среднее значение нагрузки -го участка обозначают через . Тогда относительная продолжительность действия нагрузки равна .

Рисунок 1.23 - Дифференциальная (а) и интегральная

(б) формы непрерывного спектра нагрузок

Статистический анализ нагруженности машин различных типов показал, что при всем многообразии спектров нагрузок их можно свести к нескольким типовым. Это становится очевидным при представлении нагруженности в виде спектра относительных нагрузок, обычно выраженных в долях от максимальной нагрузки.

Функции плотности и интегральные функции спектров относительных нагрузок для типовых режимов нагружений приведены на рисунке. Для описания спектров нагрузок тяжелого (кривая 1), легкого (кривая 4) и особо легкого (кривая 5) режимов используются функции бета-распределения. Для среднего равновероятного режима (кривая 2) – функция равновероятного распределения; для среднего нормального (кривая 3) – функция нормального распределения.

Начальные моменты -то порядка определяют по формулам:

для дискретных спектров нагрузок

,

для непрерывных спектров нагрузок

.

Начальные моменты отражают основные свойства спектра:

- начальный момент первого порядка равен среднему значению и характеризует центр группирования нагрузок спектра;

- первый и второй начальные моменты – рассеяние (дисперсию) нагрузки относительно центра группирования;

- первые три начальных момента характерезуют асимметрию распределения нагрузок.

Рисунок 1.24 - Функция плотности (а) и интегральные (б) функции спектра относительных нагрузок типовых режимов нагружения

Режимы, спектров нагрузок удобно задавать начальными моментами . Индекс 1, 2, 3 ... в обозначении соответствует порядку начального момента.

В расчетах деталей машин на сопротивление усталости базируются на гипотезе линейного суммирования повреждений. Уточнения этой гипотезы не рассматриваются. При определении эквивалентного числа циклов перемены напряжений используют коэффициент эквивалентности циклов , равный начальному моменту - го порядка , т. е. .

При определении эквивалентной нагрузки используют коэффициент эквивалентности режима нагружений , где порядок начального момента совпадает с показателем степени , и выбирается в зависимости от показателя степени кривой усталости.

Кривая усталости (кривая Велела) строится в координатах напряжение – число циклов перемен напряжений. При напряжениях, пропорциональных нагрузке, . При контактных напряжениях, пропорциональных корню квадратному из нагрузки, порядок начального момента .

Значения начальных моментов -го порядка для спектров относительных нагрузок типовых режимов нагружений приведены в соответствующей литературе.

Для расчетов на прочность нагруженность может быть задана максимальной нагрузкой и соответствующим начальным моментом спектра относительных нагрузок. Учитывая случайный характер нагрузок, обе величины должны рассматриваться в вероятностном аспекте.

Числовые значения коэффициентов вариации нагрузки должны устанавливаться применительно к отдельным отраслям машиностроения и соответствующими специалистами или организациями.

В среднем коэффициент вариации 0,1...0,15 (большие значения соответствуют машинам, рассчитанным на неопределенного потребителя).

В расчетах на сопротивление усталости коэффициент вариации нагрузки соответствует коэффициенту вариации эквивалентной нагрузки , т. е. нагрузки постоянного режима нагружений эквивалентного по усталостному воздействию, рассматриваемому переменному режиму:

где – максимальная нагрузка спектра; – суммарное число циклов перемен напряжений за весь срок службы; – число циклов до перелома кривой усталости; – коэффициент эквивалентности режима нагружений; – показатель степени.

Коэффициент вариации эквивалентной нагрузки , как произведение двух случайных независимых величин и , равен квадратичной сумме коэффициентов вариации максимальной нагрузки спектра и коэффициента режима :

.

Диапазон рассеяния коэффициентов эквивалентности режимов нагружения можно оценивать отношением эквивалентных нагрузок для двух смежных или ближайших несмежных типовых режимов.

Второй расчетный случай относится к универсальным машинам и к технологическим машинам, которые в связи с недостаточной нагрузкой устанавливают на заводах по выборочному размерному ряду.

Соответственно коэффициенты вариации коэффициента эквивалентности режима выбирают в пределах 0,04... 0,06 или 0,07...0,1.

Характеристику нагруженности отдельных деталей машин определяют путем пересчетов спектра нагрузок, полученного в результате измерений нагрузок на валу двигателя. Точность пересчета не всегда удовлетворительная (обычно вследствие неопределенности динамики привода), что приводит к необходимости в наиболее ответственных случаях непосредственно измерять действующие напряжения для рассчитываемой детали.

Осциллограмму с записанным изменением напряжений во времени подвергают статистической обработке с целью замены реального нагружений эквивалентным по усталостному воздействию переменным режимом с синусоидальной формой цикла напряжений.

Эквивалентную нагрузку представляют спектром относительных напряжений, т. е. расчетных напряжений , отнесенных к максимальному напряжению спектра. Способ задания относительного спектра напряжений такой же, как и для нагрузок.

Вероятность безотказной работы по критерию прочности

В качестве расчетных параметров при расчетах надежности по критерию прочности выбирают расчетное напряжение или нагрузку. Соответственно предельными величинами , являются пределы прочности, текучести, выносливости или несущая способность.

В расчетах основных деталей машин, кроме подшипников качения, прочность определяют по соотношению расчетного и предельного напряжения. Последнее рассчитывается по критерию прочности напряжения детали, превышение которого вызывает отказ.

Напряжения и рассматривают как независимые случайные величины, распределенные по нормальному закону. Количественно напряжения и задают их числовыми характеристиками:

• средними значениями и ;

• средними квадратичными отклонениями и .

Вероятность безотказной работы по критерию прочности , называемую также вероятностью неразрушения, определяют как вероятность того, что расчетные напряжения не превышают предельных значений т. е. .

Числовое значение вероятности неразрушения определяют по таблицам нормального распределения в зависимости от величины квантили

,

где – коэффициент запаса прочности по средним напряжениям.

Для соблюдения независимости расчетных параметров и их предельных величин желательно, чтобы влияние фактора на прочность полностью учитывалось или при определении расчетных напряжений или предельных напряжений (характеристик прочности). Тогда не возникает неопределенности при выборе способа учета рассеяния данного фактора. В противном случае необходимо принимать решение: учитывать ли рассеяние фактора при определении расчетного или предельного напряжений.

В вероятностном аспекте влияния концентратора напряжений учитывается:

- при расчете местных напряжений, равных номинальным напряжениям, умноженным на теоретический коэффициент концентрации напряжений.

- при определении предела выносливости. Степень влияния зависит от чувствительности материала к концентрации напряжений.

Переменность режима нагружений и срок службы учитывают или при выборе допускаемого напряжения с предварительным определением эквивалентного числа нагрузки. Либо при выборе эквивалентной нагрузки.

Соответственно при первой форме расчета базовое допускаемое напряжение умножают на коэффициент долговечности , а при второй максимальную нагрузку делят на коэффициент . Результаты при расчетах по эквивалентным циклам и эквивалентным напряжениям должны быть одинаковые.

Коэффициент долговечности определяют в соответствии с принятой гипотезой накопления усталостных повреждений. В простейшем случае, когда предполагается линейное суммирование усталостных повреждений, коэффициент

,

где – эквивалентное число циклов перемен напряжений; – коэффициент эквивалентности циклов, равный начальному моменту -го порядка спектра нагрузок.

Вне зависимости от формы расчета, коэффициент вариации расчетных напряжений , принимают равным коэффициенту вариации эквивалентных напряжений. Значение последнего равным коэффициенту вариации эквивалентной нагрузки .

Коэффициент запаса по средним значениям, т. е. отношение средних значений расчетных напряжений и предельных напряжений,

.

В данной формуле: – среднее значение предела выносливости; – среднее значение максимального напряжения, вызванного действием средней из максимальных значений нагрузок , которую можно рассматривать как максимальную нагрузку осредненного спектра нагрузок;

– среднее значение коэффициента долговечности, определяемое по приведенной выше формуле для коэффициента .

При этом вместо начального момента следует подставлять его среднее значение .

Предельные напряжения определяют по эмпирическим зависимостям, которые являются результатом обобщений экспериментальных данных.

Обычно существующие зависимости и рекомендации относят к средним значениям предельных напряжений, т. е. к 50%-ной вероятности не разрушения. Это не относится к нормативным значениям предельных напряжений, которые всегда меньше средних.

Например, пределы прочности и текучести, определяемые для различных классов прочности крепежных винтов, являются минимально допустимыми и условно их можно относить к 98...99%-ной вероятности не разрушения.

В отдельных упрощенных технических расчетах выбирают расчетные напряжения в нижней части диапазона их разброса, что может соответствовать 80...90%-ной вероятности безотказной работы. В зарубежных методиках, в частности для расчета зубчатых передач, используют пределы выносливости с вероятностью не разрушения 90 и 99%.

Разброс предельных напряжений изучен недостаточно, что объясняется необходимостью увеличения числа испытаний и отсутствием в существующих расчетах требований дифференцированного учета разброса.

При определении механических характеристик материалов указывают средние значения и средние квадратичные отклонения или коэффициенты вариации. Примером могут служить справочные данные по пределам прочности и текучести материалов, применяемых в авиационной технике.

При отсутствии таких данных коэффициент вариации предела прочности можно выбирать в среднем 0,03...0,04 для улучшенных или нормализованных сталей и 0,05...0,07 для сталей с термически упрочненной поверхностью.

При основных в машиностроении расчетах на сопротивление усталости коэффициент вариации предельного напряжения – предела выносливости детали определяют по следующей зависимости , где – коэффициент вариации для точно изготовленной детали из материала одной плавки; – коэффициент вариации, учитывающий рассеяние между плавками. Он приближенно равен коэффициенту вариации предела прочности материала;

– коэффициент вариации, учитывающий рассеяние геометрических размеров и шероховатости поверхности концентратора напряжений; – коэффициент вариации радиуса выточки, галтели или другого пересопряжения, являющегося концентратором напряжения.

Оценка надежности при механическом изнашивании

В последнее время разрабатываются расчеты на износостойкость, отражающие важнейшие процессы, происходящие при изнашивании:

- фрикционную усталость от деформирования микронеровностей,

- тепловые процессы,

- работу смазочного слоя в предпосылках контактной гидродинамики.

Износостойкость трущейся пары характеризуют интенсивностью изнашивания , равной толщине изношенного слоя на единицу пути трения. По интенсивности изнашивания, скорости относительного перемещения трущихся поверхностей и времени работы можно оценить линейный износ детали .

Интенсивность изнашивания есть функция материалов, смазки, давления и скорости, формула предполагает сохранение вида трения и отсутствие существенного влияния температуры на интенсивность изнашивания. Оценку надежности следует вести:

- по изменению линейного размера одной детали, которое может характеризовать точность (например, измерительный, мерный режущий инструмент) или прочность (например, рабочие органы машин);

- по изменению сочетания линейных размеров сопряженных деталей, которое может характеризовать динамические нагрузки, несущую способность, шум и выходную точность.

Обычно известно предельно допустимое значение размера , при износе до которого детали снимают с эксплуатации. Также задано среднее значение и среднее квадратичное отклонение начального размера. Если известно среднее значение интенсивности изнашивания и ее коэффициент вариации , то можно оценить квантиль нормального распределения , а по ней вероятность безотказной работы детали .

,

где – коэффициент вариации размера детали.

В случае расчета по предельно допустимому уменьшению размера , а в случае увеличения (например, зазора) .

Условный коэффициент запаса по износу вычисляется как отношение средних значений допустимого износа к действительному износу

.

Если рассматривается изнашивание подшипника скольжения (без существенного искажения формы), то – предельно допустимый зазор, – среднее значение начального зазора. Среднее квадратичное отклонение начального зазора , где , – средние квадратичные отклонения диаметров вала и втулки, которые принимаются равными шестой части соответствующих допусков.

В цепных передачах ресурс обычно ограничен износом цепи, при котором может нарушиться ее зацепление со звездочкой (принимают допустимым увеличение шага цепи 3%). Хотя с изнашиванием цепи изнашивается также и звездочка.

Износ звездочки менее интенсивен. В сопряжении ролик цепи – зуб звездочки имеет место трение качения. В шарнирном сопряжении двух звеньев большинства цепей – трение скольжения. В этом случае – среднее начальное и предельное значения шага цепи, а также среднее квадратичное отклонение начального шага.

В технике используются расчеты на основе подобия:

,

где – коэффициенты пропорциональности; – давление в контакте; – показатель степени, зависящий от условий работы. Эту формулу целесообразно уточнить учетом других основных факторов, влияющих на интенсивность изнашивания и имеющих существенное рассеяние в эксплуатации.

М. М. Хрущевым установлено, что для металлических материалов в естественном состоянии и отожженных сталей при трении их об абразивную шкурку или шлифовальный круг интенсивность изнашивания пропорциональна давлению и обратно пропорциональна твердости изнашиваемого материала :

.

Эта закономерность сохраняется до твердости материала, не превышающей значений 0,6...0,75 твердости абразива. При больших значениях зависимость интенсивности от твердости несколько понижается по сравнению с расчетной интенсивностью.

Установлено, что показатель степени при твердости может в отдельных случаях отличаться от единицы и доходить до двух

.

Если рассматривается суммарный износ сопряженных поверхностей 1 и 2, то , и суммарный износ рассчитывается по той же формуле с учетом

,

где и – твердости сопряженных поверхностей деталей.

Существенное влияние на интенсивность изнашивания оказывает коэффициента трения. Поэтому формулу для интенсивности изнашивания, если известны надежные значения коэффициента трения , будет иметь вид

,

где ; и – коэффициенты трения рассматриваемой и исходной пар; – показатели степеней, зависящие от влияния смазки, термообработки деталей и степени близости к предельному значению , при котором проявляется схватывание материалов.

Формула может быть полезной при пересчетах интенсивности изнашивания близких материалов. В формуле в большинстве случаев можно принимать 1.

Если имеет место трение стали по иному материалу, то 1, если трение закаленной стали по закаленной стали, то 2...3, что связано с резко повышенным у закаленных сталей сопротивлением к схватыванию, которое обычно существенно ускоряет изнашивание. При трении деталей без смазки и при граничном трении деталей со смазкой в случае, если (0,7...0,8) , при большем давлении 2...3.

При полужидкостном трении деталей со смазкой при любых давлениях значение т повышается, доходя до 3. Это повышение связано с тем, что при росте общей нагрузки одновременно увеличивается ее доля, воспринимаемая контактом микронеровностей. Значение 3 подтверждается анализом таблиц по подбору цепных передач стандартов США ASA B29.1 и ФРГ DIN 8198.

Экспериментальные данные по зубчатым и цепным передачам, а также другие исследования показали, что интенсивность изнашивания растет пропорционально количеству поступающего в зону трения абразива (г/ч). Поэтому, если известно , то, как при смазке, так и без нее

.

Формула отличается тем, что принято 1, а вместо переменной вводится переменная .

Коэффициент вариации интенсивности изнашивания можно выразить через: коэффициенты вариации давления ; коэффициента трения ; твердости ; количества абразива .

До накопления уточняющих данных, показатели степеней при переменных принимаем детерминированными величинами

.

В случае изнашивания с заданным количеством абразива

.

Если расчетом или экспериментально оценена средняя интенсивность изнашивания, то можно по рассеянию параметров деталей и режима работы оценить вероятность безотказной работы детали по критерию износа.

Оценка надежности по критерию теплостойкости

Рассматриваем вероятностный расчет на примере корпусной детали (коробки перемены передач, корпуса редуктора) под действием внутреннего равномерно распределенного источника теплоты.

Среднее значение избыточной температуры

,

где и – детерминированные значения охлаждаемой воздухом площади и доли теплоты, отводящейся основанием; – средние значения расходуемой мощность; коэффициента полезного действия; коэффициент теплоотдачи, которые рассматриваются как случайные величины. При работе с повторно-переменным кратковременным режимом

,

где – время работы с мощностью ; – общее время работы за общий цикл.

Среднее квадратичное отклонение избыточной температуры, рассматриваемое как функция случайных величин,

Коэффициент вариации температуры

.

Коэффициент вариации k_t и t) выбираем из условия, что диапазон между указываемыми в литературе предельными значениями покрывается шестью среднеквадратическими отклонениями.

Средние значения коэффициентов теплоотдачи и коэффициенты вариации приведены в соответствующей литературе.

В среднем можно считать 0,04.

Вероятность безотказной работы по критерию теплостойкости определяем по величине квантили, равной

,

где – запас по средним; – предельно допустимая температура; – температура окружающей среды (начальная температура).