Вопрос 6. Сущность и технологическая схема уравнительных вычислений геодезических измерений коррелатным способом.

Уравнивание геодезических измерений – совокупность математических операций, выполняемых для получения вероятнейшего значения геодезических координат точек земной поверхности и для оценки точности результатов измерений.

Уравнивание проводится для устранения невязок, обусловленных наличием ошибок в избыточно измеренных величинах, и для определения вероятнейших значений искомых неизвестных или их значений, близких к вероятнейшим. В процессе уравнвиания это достигается путём определения поправок к измеренным величинам (углам, направлениям, длинам линий или превышениям).

Уравнивание геодезических измерений бывает строгое и упрощенным (нестрогое). В случае строгого уравнивания поправки обычно определяют с помощью метода наименьших квадратов так, чтобы сумма квадратов всех поправок была наименьшей. Определяемые и такого уравнивания поправки имеют вероятнейшие (оптимальные) значения. Применение метода наименьших квадратов к уравниванию измеренных величин вполне законно только в том случае, когда ошибки их имеют случайный характер.

Так, в простейшем примере плоского треугольника сумма углов должна строго равняться 180°. Измеренные углы вследствие ошибок измерения этому условию, вообще говоря, не удовлетворяют и должны быть исправлены прибавлением соответствующих поправок. Из всего бесконечного множества поправок, которые приводят сумму измеренных углов к 180°, лишь одна система поправок обладает тем свойством, что сумма квадратов их есть минимум; такая система считается вероятнейшей. В приведённом примере это имеет место, если невязку разложить поровну на все три угла.

Строгое уравнивание геодезических сетей, особенно больших по размерам, сопряжено с рядом трудностей технического и организационного характера. Поэтому на практике часто применяются упрощенное (нестрогое) уравнивание, при котором все геометрические условия выполняются, а вероятнейшие значения величин и оценка точности получаются приближенно.

В геодезической практике как при строгом, так и при упрощённом уравнивании широко используются главным образом два способа уравнивания: способ условных измерений и способ посредственных измерений. При первом способе поправки отыскивают непосредственно к измеренным величинам, при втором – к их функциям (как правило, координатам).

Всякий способ уравнивания состоит из следующих основных процессов: предварительных вычислений, составления условных уравнений или уравнений погрешностей, составления нормальных уравнений, решения нормальных уравнений и оценки точности измеренных и уравненных величин. При большом числе нормальных уравнений наиболее трудоёмкой частью уравнительных вычислений является их решение, поэтому оно обычно осуществляется на ЭВМ. Уравнения могут решаться методом последовательного исключения неизвестных ( схема Гаусса) или методом итерации (приближений). Иногда нормальные уравнения не составляют, в этом случае неизвестные определяют непосредственно из решения или условных уравнений, или уравнений погрешностей. В некоторых случаях при обработке материалов геодезических измерений невысокой точности уравнивание результатов выполняют графическим способом.

В геодезической практике применяются различные способы уравнивания: параметрический, коррелатный, комбинированный, рекуррентный, параметрический способ с зависимыми переменными, коррелатный способ с дополнительными параметрами, способ последовательных приближений и др.

Метод наименьших квадратов – один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки.

Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке геодезических измерени.

Метод наименьших квадратов содержит в себе 2 основных способа: коррелатный и параметрический, которые при строгом уравнивании дают одинаковые результаты. Выбор способа обычно зависит от объема вычислений, определяемого в основном количеством совместно решаемых уравнений, т.е. конфигурацией сети. Коррелатный способ более оптимален для свободных сетей и сетей с небольшим числом исходных пунктов и большим числом определяемых – по-скольку количество уравнений равно числу избыточных измерений. Идея коррелатного способа заключается в отыскании поправок к измеренным величинам через вспомогательные неопределенные множители, называемые коррелатами. Сущность уравнивания коррелатным способом состоит в том, что задачу нахождения минимума функции уравнения разложенного по ряду Тейлора решают по способу Лагранжа с определенными коррелатами, в результате чего получают коррелатные уравнения поправок (векторы поправок). Преобразовав уравнения поправок получают нормальные уравнения коррелат, через которые находят вероятнейшие значения поправок.

Метод наименьших квадратов был предложен К. Ф. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06). Первоначально этот метод использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода наименьших квадратов даны А. А. Марковым и А. Н. Колмогоровым. Ныне способ представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

Избыточные измерения. Геодезические сети обязательно должны содержать избыточные измерения. Они нужны для своевременного обнаружения и исправления некачественных величин и для оценки точности измерений. На рис. 21a показаны два вектора A и B, избыточные данные отсутствуют. На рис. 21б избыточно определен вектор C. Теперь координаты пункта 3 можно найти по вектору В и проконтролировать по векторам А+С.

Рис. 21. Фрагмент геодезической сети; избыточные измерения: а - отсутствуют, б - имеются

        До вычислений следует решить, что уравнивать, как определять веса, учитывать или нет коррелированность измерений. Полагаем, что уравниванию подлежат полученные приращения координат, т.е. составляющие D_x, D_y, D_z векторов D. В дальнейшем в данном пособии они рассматриваются как измеренные величины. Это допущение существенно упрощает обработку. Веса pi определяют отношением дисперсии μ ² измерения, вес которого принят за единицу (единицы веса) к дисперсии σ _i² текущего измерения:

p_i = μ ² / σ _i² .

Эти дисперсии для приращений координат могут быть вычислены по формулам:

σ _i = a + b^. D_км , μ = a + b^. D⁰_км .

D_км - длина вектора в километрах, D⁰_км - произвольная величина, числено равна среднему из длин векторов. Часто полагают μ ²=1 Коэффициенты a = от 5 до 10 мм, b = от 1до 2 мм/км. Веса pi расположим на главной диагонали диагональной весовой матрицы P. Если измерения равноточные, то все веса одинаковы, равны 1 и весовая матрица становится единичной: P = E. Неучет корреляций искажает поправки из уравнивания до 20%. Для их учета нужно составить корреляционную матрицу K и определить весовую матрицу из выражения K=μ ²P^-1. Для простоты в дальнейшем найденные приращения координат полагаем некоррелированными.         Коррелатное уравнивание. В этом случае выясняют, какие в сети возникают условия и вычисляют невязки. В сетях с "измеренными" приращениями координат вид условий зависит от того, как проложен векторный ход. Если векторный ход образует замкнутый контур, то векторное условие имеет вид:

ΣD_ij = 0,

где вектор D_ij соединяет пункты i и j. Эта запись означает, что суммы приращений координат по каждой координатной оси в замкнутой фигуре равны нулю. Когда ход проложен между векторами R_I e R_II двух опорных пунктов, координаты которых не подлежат исправлению, условие принимает вид:

Σ D_ij - (R_II - R_I ) = 0 .

Каждое из записанных векторных условий может быть разложено по трем координатным осям и представлено тремя скалярными формулами. Подстановка в уравнения условий составляющих векторов D_x, D_y, D_z,  полученных из измерений, приведет к появлению невязок. Например, по оси Х для невязок получим:

W_X = Σ D_xij e W_X = ΣD_xij - (X _II - X_I) .

      Аналогично получим невязки W_y и W_z. Количество невязок r равно утроенному числу избыточно измеренных векторов. Для примера ниже приведены невязки (в мм) по двум треугольникам, образованным на учебном полигоне МГУ измерениями двухчастотными приемниками 4000 SST фирмы Trimble.

Треугольник	WX	Wy	Wz.
База-ВУЗ-Луговая	15	-6	17
База-ВУЗ-Придорожная	6	10	31

      Чтобы невязки устранить, следует величины D_x, D_y, D_z исправить соответственно поправками V_x, V_y, V_z. Так, для векторного треугольника с номерами вершин 1, 2, 3 и векторами, ориентированными по часовой стрелке, условие по оси Х будет иметь вид:

V_x12 + V_x23 + V_x31 + W_x123 = 0.

       Аналогичные уравнения условий будут по осям Y и Z. Для всех условий в сети получим систему уравнений

BV+W=0

       Элементами векторов V и W соответственно являются искомые поправки и вычисленные невязки; матрица B содержит коэффициенты, стоящие перед поправками в условных уравнениях. Как видим, эти коэффициенты равны +1, 0 или -1. Коррелатный способ МНК позволяет найти такие поправки V_x, V_y, V_z , что взвешенная сумма их квадратов будет минимальна при сохранении всех указанных геометрических условий. Векторы коррелат K и поправок V вычисляют по формулам:

K = - (BP^-1B^Т)^-1 W, V = P^-1B^ТK .

        Для оценки точности вычисляют СКП единицы веса:

μ ² = V^ТPV/r или μ ² = W^T(BP^-1B^Т)^-1 W /r

         В малых сетях уравнивание коррелатным способом МНК выполняется просто. Так, если сеть состоит из одного треугольника, то в треугольнике невязки распределяются по соответствующим составляющим векторов с обратным знаком пропорционально обратным весам. Если длины векторов одинаковы, то поправка в каждое приращение координат рана 1/3 соответствующей невязки, взятой с обратным знаком. Величины невязок говорят о точности построений. Поэтому геодезическая сеть должна быть спроектирована таким образом, чтобы векторы образовывали замкнутые небольшие, максимум 8-сторонние, контуры (Филиппов, Янкуш, 1995).