Вопрос 1. Закон нормального распределения случайных величин (случайных ошибок измерений).

Средняя квадратическая, предельная и относительная погрешности

Для правильного использования результатов измерений необходимо знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному значению измеряемой величины, они получены. Ха­рактеристикой точности отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная Гауссом средняя квадратическая погрешность т. вычисляемая последующей формуле:

(5.1)

где n — число измерений данной величины.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Такие случаи в практике встреча­ются редко. В то же время из измерений можно получить резуль­тат, наиболее близкий к истинном/качению, — арифметичес­кую средину. Для этого случая средняя квадратическая погреш­ность одного измерения подсчитывает по формуле Бесселя:

(5.2)

Где - отклонение отдельных значений измеренной величины от арифметической середины, называемой вероятнейшими погрешностями, причём [ ] = 0.

Точность арифметической середины, естественно, будет выше точности отдельного измерения. Её средняя квадратическая погрешность определяется по формуле:

(5.3)

Где m – средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам (5.1) или (5.2).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину измеряют дважды – в прямом и обратном направлениях, например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае средняя квадратическая погрешность одного измерения:

(5.4)

А среднего результата из двух измерений:

(5.5)

где d — разность двукратно измеренных величин; п — число раз­ностей (двойных измерений).

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей для абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях измерений существует допустимый предел, называемый предельной погрешностью. В строительных нормах пре­дельная погрешность называется допускаемым отклонением.

Теорией погрешностей измерений доказывается, что абсолют­ное большинство случайных погрешностей (68,3%) данного ряда измерений находится в интервале от 0 до ± т в интервал от О до ±2т попадает 95,4 %, а от 0 до ± 3 т — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 погрешностей данного ряда измерений лишь пять могут оказаться больше или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или равны 3т. На осно­вании этого в качестве предельной погрешности ∆_пр для данно­го ряда измерений принимается утроенная средняя квадратическая погрешность, т.е. ∆_пр = 3т. На практике во многих работах для повышения требований точности измерений принимают ∆_пр = 2т. Погрешности измерений, величины которых превосхо­дят ∆_пр, считают грубыми.

Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величи­не средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной погрешности.

Относительной погрешностью называется отноше­ние абсолютной погрешности к значению самой измеренной ве­личины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной l = 110 м при m_l = 2 см равна m_l/l = 1/5500, а относительная предельная погрешность при ∆_пр = 3т = 6 см ∆_пр/l = 1/1800.