12.3. Истечение жидкости из резервуара

Заполненный жидкостью резервуар имеет в дне отверстие, через которое вытекает жидкость. Скорость истечения жидкости определяется формулой где с - постоянная, зависящая от типа жидкости (для воды, например, с=0,6); g-ускорение свободного падения; h-высота уровня жидкости над отверстием.

П ример 5. Коническая воронка высотой H с углом раствора при вершине, равным (рис.12.7), заполнена водой. Вода вытекает через отверстие, площадь которого . Найти время, за которое вся вода вытечет из воронки.

Решение. Пусть в момент времени t высота уровня жидкости над отверстием h=h(t). Предположим, что за время dt уровень воды в воронке понизится на dh. Тогда для малого dt объем вытекшей жид­кости будет равен объему цилиндра высотой dh и радиусом т.е. За это же время dt через отверстие вытечет объем воды, равный объему цилиндра, площадь основания которого и высота т.е.

Приравнивая полученные выражения, приходим к дифференциальному уравнению

Это уравнение с разделяющимися переменными. Используя начальные данные , получаем математическую модель (задачу Коши) рассматриваемого процесса:

Решив задачу Коши, будем иметь

Время Т, за которое жидкость вытечет из воронки, определяется соотношением

Примеры для самостоятельного решения

12.3.1. Вода вытекает из отверстия в дне цилиндрическо­го сосуда. Высота цилиндра H, площадь основания S, площадь отверстия . Составить математическую модель истечения воды и определить время, за которое вытечет вся жидкость.

12.3.2. В дне котла, имеющего форму полушара радиусом 1 м и наполненного водой, образовалась щель площадью 0,25 см ². Найти время истечения воды из котла.

12.3.3. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0,1 м, вырезанное в дне?

12.3.4. Высота цилиндрического резервуара с вертикаль­ной осью равна 6 м, а диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?

12.3.5. Длина цилиндрического резервуара с горизон­тальной осью равна 6 м, диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?

12.3.6. Вертикально стоящий резервуар имеет в дне небольшое отверстие. Предполагая, что скорость истечения воды пропорциональна давлению, найти, за какое время вытечет половина первоначального объема воды, если известно, что 1/10 этого объема вытечет за первые сутки.

12.3.7. В резервуар глубиной 4 м, поперечное сечение которого — квадрат со стороной 6 м, поступает вода со скоростью 10 м /мин. За какое время резервуар будет наполнен, если в то же время вода вытекает из него через имеющееся в дне квадратное отверстие со стороной 1/12 м?

12.4. Распространение теплоты

Если на каждой из поверхностей, ограничивающих какое-либо тело, поддерживать постоянную температуру, то по истечении некоторого вре­мени тело приходит в состояние, при котором температу­ра в каждой его определенной точке постоянна (не зависит от времени). Если температура Т является функ­цией только одной координаты, например х, то в этом слу­чае, согласно закону Ньютона для теплопроводности, количество теплоты, проходящее за 1 с через площадку A, перпендикулярную к оси Ох,

,

где k — постоянная величина, называемая теплопроводностью данного вещества.

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха: , где Т - температура тела в момент времени ; t - температура воздуха; k - положительный коэффициент пропорциональности.