Тема 2. Логические исчисления.

Логика –наука о законах и формах правильного мышления.

Математическая логика – раздел математики, посвящённой изучению математических доказательств (правильных умозаключений с точки зрения их формального строения безотносительно к их содержанию). Основоположником математической логики считают Г.Лейбница, попытавшегося построить универсальный математический язык, с помощью которого можно было бы проводить математические доказательства и, в частности, разрешать споры между людьми. Основными разделами математической логики являются логика высказываний и логика предикатов.

Логика высказываний – раздел МЛ, изучающий высказывания. Высказывание (простое высказывание) – любое утверждение (повествовательное предложение) относительно которого однозначно можно сказать истинно оно или ложно (но не то и другое одновременно) безотносительно к содержанию самих утверждений.

Примерами высказываний являются: 1) «Волга впадает в Чёрное море»; 2) « ; 3) « - простое число». Утверждения : 1) « »; 2) «Который час?»; 3) «Город стоит на берегу реки» высказываниями в ЛВ не являются (в виду их недостаточной уточнённости).

Высказывания обычно обозначают: . Значениями высказываний являются: «истина» и «ложь». Значение «истина» обозначают , или , а значение «ложь» - , или .

Множество называют множеством истинностных значений. Из простых высказываний можно строить сложные (составные) высказывания, истинностные значения которых определяются только истинностными значениями простых высказываний его составляющих (но не их смыслом). Строят сложные высказывания из простых с помощью логических связок (специальных логических операций выполняемых над простыми высказываниями).

В логике высказываний обычно рассматривают логические связки: , &, , , ~, , |, определяемые следующими таблицами истинностных значений (называемых также интерпретациями логических операций):

							~
1	1	0	0	1	1	1	1	0	0	0
1	0	0	1	0	1	0	0	1	1	0
0	1	1	0	0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	1	0	0	1	1	0	1	1

Принят следующий приоритет выполнения логических операций: , (&, |, ), , , (~, ). Если необходимо изменить порядок их выполнения, то используют круглые скобки.

Алфавит – любое непустое множество элементов, называемых символами данного алфавита.

Слово – любая произвольная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний состоит из:

1. логических (высказывательных) переменных: ;

2. символов логических операций: , &, , , ~, , |, ;

3. символов скобок: ( ).

Формулой логики высказываний называют правильно составленное слово из элементов алфавита логики высказываний, т.е. такую последовательность символов, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. любая логическая переменная – формула;

2. если и - формулы, то формулами являются выражения: , , , , , ~ , , , ;

3. никаких других формул, кроме построенных по пунктам 1) и 2), нет.

Списком переменных формулы называют упорядоченный набор логических переменных , входящих в формулу в явном виде, при этом пишут .

Оценкой списка переменных формулы называют упорядоченный набор возможных истинностных значений каждой из переменных списка. Если список состоит из переменных, то он имеет различных оценок.

Формулу называют выполнимой (опровержимой), если существует оценка её списка переменных, на которой формула принимает значение - «истина» ( - «ложь»).

Формулу называют тождественно истинной (тавтологией или общезначимой), если на всех оценках её списка переменных формула принимает значение - «истина».

Формулу называют тождественно ложной (противоречием), если на всех оценках её списка переменных формула принимает значение - «ложь».

Таблицей истинности формулы логики высказываний называют таблицу, в которой указаны все возможные оценки списка переменных и соответствующие им истинностные значения формулы. Для формулы таблица истинности содержит строк.

Две формулы и , заданные на одном и том же списке переменных (некоторые из переменных могут входить в формулы неявно), называют равносильными и пишут , если их таблицы истинности совпадают.

Для любых формул логики высказываний справедливы следующие основные равносильности:

1) ;

2)

3)

4) (идемпотентность)

5) (закон двойного отрицания)

6) (законы поглощения)

7) (законы расщепления)

8) (законы де Моргана)

9) , , , ,

Конъюнкцию логических переменных и их отрицаний называют элементарной конъюнкцией (кратко назовём конъюнктом), а их дизъюнкцию – элементарной дизъюнкцией (кратко назовём дизъюнктом). Обозначим их, соответственно, (кратко ) и , где .

Формулу называют записанной в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), если она представляет собой дизъюнкцию конъюнктов, например: .

Формулу называют записанной в конъюнктивной нормальной форме (КНФ), если она представляет собой конъюнкцию дизъюнктов, например: .

В ДНФ и КНФ можно записать любую формулу логики высказываний.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы называют её ДНФ, обладающую следующими свойствами:

1) каждый конъюнкт содержит все переменные из списка переменных данной формулы и имеет вид , где ;

2) все конъюнкты попарно различны.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) формулы называют её КНФ, обладающую следующими свойствами:

1) каждый дизъюнкт содержит все переменные из списка переменных данной формулы и имеет вид , где ;

2) все дизъюнкты попарно различны.

Любую формулу логики высказываний всегда можно представить в виде равносильной ей формулы в СДНФ или СКНФ, согласно следующим теоремам.

Теорема_1 (о представлении в СДНФ). Любую формулу логики высказываний , кроме константы , можно единственным образом (с точностью до порядка следования конъюнктов) представить в виде формулы в СДНФ:

, где .

Теорема_2 (о представлении в СКНФ). Любую формулу логики высказываний , кроме константы , можно единственным образом (с точностью до порядка следования дизъюнктов) представить в виде формулы в СКНФ:

, где .

Таким образом, любую формулу всегда можно выразить в идее равносильной формулы, в которой будут присутствовать только три логические операции: , &, .

Данные теоремы носят конструктивный характер и позволяют непосредственно по таблицам истинности формул строить равносильные им формулы в СДНФ и СКНФ.

ДНФ формулы называют минимальной дизъюнктивной нормальной формой (МДНФ), если она содержит наименьшее число вхождений логических переменных по сравнению с любой другой равносильной ей ДНФ данной формулы. Формула может иметь несколько различных минимальных ДНФ.

Найти МДНФ формулы всегда можно, например, перебрав конечное число всех равносильных ДНФ данной формулы. Однако, такой способ нахождения МДНФ является чрезвычайно громоздким. Существует большое число эффективных методов нахождения МДНФ. Одним из таких методов является метод минимизирующих карт (ММК) (метод не относится к числу наиболее эффективных, но зато прост для изложения и не требует введения дополнительных понятий).

Картой метода ММК называют таблицу, в клетках которой указывают все одно, двух,…, -местные конъюнкты, которые можно составить из переменных и их отрицаний ( ) формулы . В частности, для карта имеет вид:

1	1	1	11	11	11	111
1	1	0	11	10	10	110
1	0	1	10	11	01	101
0	1	1	01	01	11	011
1	0	0	10	10	00	100
0	1	0	01	00	10	010
0	0	1	00	01	01	001
0	0	0	00	00	00	000

Данный метод предполагает, что формула записана в СДНФ.

Алгоритм ММК основан на следующем:

Утверждение. Если конъюнкт , где , принадлежащий -ой строке карты, не входит в СДНФ формулы , то ни один из одно, двух,…, -местных конъюнктов -ой строки не будет входить ни в одну из равносильных ДНФ данной формулы.

Для построения МДНФ формулы методом ММК следует:

1. Формулу представить в СДНФ.

2. Построить карту метода ММК.

3. Отметить знаком ( ) строки, в которых соответствующие им конъюнкты входят в СДНФ, и знаком строки, в которых соответствующие им конъюнкты не входят в СДНФ. Строки, отмеченные знаком следует вычеркнуть из таблицы (больше полностью вычеркнутых из таблицы строк быть не должно).

4. Двигаясь по столбцам таблицы вычеркнуть из строк, отмеченных знаком , все конъюнкты, совпадающие с конъюнктами вычеркнутых строк.

5. В каждой строке оставить лишь клетки, отвечающие конъюнктам с наименьшим числом сомножителей, вычеркнув при этом все остальные клетки.

6. Из каждой строки выбрать по одному из оставшихся конъюнктов и составить из них всевозможные различные ДНФ.

7. Из всех полученных ДНФ выбрать минимальную (она может оказаться не единственной).

Одно из приложений логики высказываний связано с её применением к теории электрических цепей, а именно к контактным схемам.

Пусть - набор контактов в электрической схеме. Контактной схемой называют последовательно-параллельное соединение контактов. Каждой контактной схеме можно поставить в соответствие её функцию проводимости, задаваемую формулой логики высказываний в ДНФ или КНФ:

.

Функция проводимости схемы из двух последовательно соединённых контактов имеет вид , а функция проводимости схемы из двух параллельно соединённых контактов – вид . Две контактные схемы считают эквивалентными, если они одновременно проводят или не проводят ток, т.е. если они имеют одинаковую функцию проводимости. Применяя равносильности логики высказываний схемы можно упрощать, заменяя их эквивалентными, содержащими меньшее число контактов. Для упрощения контактных схем можно, в частности, использовать метод ММК.

В логике высказываний изучаются логические отношения, составленные из простых высказываний и принимающие только два значения 0 или 1 с помощью логических операций. Все высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Структура высказываний и их содержание игнорируются. Однако на практике часто используются заключения, зависящие как от структуры так и от содержания используемых в них высказываний.

Логической системой, в рамках которой можно исследовать структуру и содержание высказываний, является логика предикатов. Логика высказываний является составной частью логики предикатов. В логике предикатов изучаются как элементарные высказывания, так и высказывания, отнесённые к предмету, т.е. высказывания, расчленённые на субъект и предикат. Субъект – это то, о чём что-то утверждается, а предикат – это то, что утверждается о субъекте. Логика предикатов является расширением логики высказываний за счёт использования предикатов в роли логических функций.

Одноместным предикатом называется произвольная логическая функция переменного , определённая на множестве и принимающая значения из множества . Таким образом, для предикатов область значений функции – логическая, а область определения – предметная.

Множество называется предметной областью или областью определения предиката. Множество всех , при которых называется множеством истинности предиката: .

Предикат для которого называется тождественно истинным, и тождественно ложным, если .

Обобщением понятия одноместный предикат является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются уже отношения между предметами. -местным предикатом называется всякая функция переменных , определённая на множестве (декартово произведение) и принимающая на множестве одно из двух значений: «истина» или «ложь», т.е. -местным предикат есть функция . Высказывания можно считать нульместными предикатами.

Говорят, что предикат является следствием предиката и пишут , если . Предикаты и называются равносильными и пишут , если .

К предикатам применимы все операции логики высказываний, так как они являются логическими функциями.

Конъюнкцией предикатов и называется предикат принимающий значение при всех , при которых каждый из предикатов принимает значение 1, и значение 0 во всех остальных случаях. Множеством истинности предиката очевидно является . Аналогично определяются дизъюнкция (с множеством истинности ), отрицание (с множеством истинности ), импликация (с множеством истинности ).

Пример1. Какие из утверждений являются предикатами: «Земля-спутник Венеры» (ложное высказывание, не являющееся предикатом); « » - одноместный предикат , где , .

Пример2. На множестве заданы два предиката :« -простое число», :« -нечётное число». Требуется: 1)составить таблицы истинности предикатов, найти , , выяснить равносильны ли они на множестве ; 2) составить таблицы истинности предикатов , , , на множестве и найти их множества истинности.

Кванторные операции: кванторы общности и существования.

Функциональная природа предиката влет за собой введение ещё одного понятия – квантора. Кванторные операции (кванторы) рассматривают как обобщение операций конъюнкции и дизъюнкции на случай бесконечных областей.

В логике предикатов существуют две особые операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание, т.е. операции, которые связывают аргумент предиката.

Квантор всеобщности . Если , где -предикат, то выражение является высказыванием, истинным, если при всех и ложным в противном случае. -читается «для всякого истинно».

В предикате переменная является свободной ( -любое из ), а в высказывании переменная является связанной.

Если , то справедлива равносильность .

Квантор существования . Если , где -предикат, то выражение является высказыванием, истинным, если существует , для которого и ложным в противном случае. -читается «существует , при котором истинно».

В предикате переменная является свободной ( -любое из ), а в высказывании переменная является связанной.

Если , то справедлива равносильность .

Кванторы могут применятся и к многоместным предикатам. Применение кванторной операции к предикату по переменной ставит в соответствие двухместному предикату одноместный предикат или , зависящий от и не зависящий от . К двуместному предикату можно применить кванторные операции и по обеим переменным. В результате получится восемь высказываний: ,…, . В общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания и его логическое значение, т.е например, высказывания и , и различны. Так, пусть предикат :« - мать для », тогда высказывание :«у каждого человека есть мать» - истинное утверждение, а истинность высказывание : «существует мать всех людей» зависит от множества значений, которые могут принимать : если это множество братьев и сестёр, то оно истинно, в противном случае оно ложно. Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и существования может изменить сам смысл и значение выражения.

Квантор существования можно выразить через квантор всеобщности

Пример3. Установить истинность или ложность высказываний на множестве .

1) - ложное;

2) - истинное.

3) . Предикат преобразуем к виду = = . Тогда высказывание - истинное.