2.4. Применение критериев согласия для согласования теоретического и статистического распределений случайных величин

Идея применения критерия согласия заключается в следующем. Примем гипотезу H, что величина X имеет функцию распределения F(x). Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу H, рассмотрим некоторую случайную величину U, выбранную произвольным образом и характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Допустим, что закон распределения U зависит от закона распределения случайной величины X, над которой производились опыты, и от числа опытов n. Если гипотеза H верна, то закон распределения U определяется законом распределения X (функцией F(x)) и числом n. Допустим, этот закон распределения нам известен и в результате серии опытов мера расхождения U приняла некоторое значение u. Для ответа на вопрос о пригодности гипотезы H вычислим вероятность того, что за счёт случайных причин, связанных, возможно, с недостаточным объёмом опытного материала, U>=u. При этом удобно воспользоваться критерием Пирсона, при котором закон распределения U, если n достаточно большое, практически не зависит от функции F(x). Более того, Пирсон показал, что закон распределения U зависит только от числа разрядов h^k, в которые сведены результаты опытов и оформлены в виде статистического ряда. При этом, проверяя согласованность теоретического и статистического распределений, можно исходить из расхождений между теоретическими вероятностями P_i и наблюдёнными значениями P_i*. В качестве расхождения U следует пользоваться формулой

k

U=∑ c_i (P_i*- P_i),

i=1

где «веса» разрядов c_i =n:pi

Кроме критерия χ² для оценки степени согласованности теоретических и практических распределений на практике применяется и ряд других критериев, например А.Н. Колмогорова.

Учитывая особую важность этих вопросов для оценки погрешностей измерений вероятностных характеристик, им отводится отдельный подраздел, а некоторые из них в конспективном виде вынесены в приложения.

2.5. Статистические оценки параметров распределения

и их характеристика

Для определения любых вероятностных характеристик случайной величины желательно знать закон её распределения. При этом возникает задача статистической оценки параметров, которыми определяется это распределение. Обычно имеются данные выборки значения интересующего нас количественного признака x₁ ,x₂ ,….,x_n, полученные в результате независимых n наблюдений. Рассматривая их как независимые случайные величины X₁, X₂,….X_n, можно найти статистическую оценку неизвестного параметра распределения, связав их соответствующей функцией, которая и даст приближённое значение оцениваемого параметра. Например, для оценки МОЖ нормального распределения служит функция – среднее арифметическое наблюдаемых значений признака. Таким образом, статистической оценкой параметров неизвестного распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистическая оценка давала удовлетворяющие исследователя приближения оцениваемых параметров, она должна удовлетворять требованиям несмещённости, эффективности и состоятельности. Несмещённой называют статистическую оценку Q*, МОЖ которой равно оцениваемому параметру Q при любом объёме выборки, то есть M(Q*)=Q. Напротив, смещённой называют статистическую оценку, МОЖ которой не равно оцениваемому параметру. Эффективной называют статистическую оценку, которая имеет наименьшую возможную дисперсию при заданном объёме выборки n.

Требование состоятельности предъявляется при большом объёме выборки. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при

n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Все перечисленные свойства относятся к точечным оценкам. Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Более точное представление о точности оценки даёт интервальная оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, накрывающего с определённой вероятностью полученную статистическую оценку. Таким образом, точность и надёжность оценок являются взаимосвязанными. Так, если статистическая характеристика θ* служит оценкой неизвестного параметра θ, то параметр θ* тем точнее определяет параметр θ, чем меньше ‌ θ– θ*‌ . Иначе говоря, если δ >0 и ‌ θ– θ* ‌ < δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, величина δ характеризует точность оценки, но не абсолютную, а с некоторой вероятностью γ, называемой надёжностью или доверительной вероятностью. Обычно надёжность задают заранее, причём равной 0,95; 0,99; 0,999.

На практике используют преобразованное неравенство P[θ^*– δ< θ< θ^* + +δ]= γ, показывающее, что интервал (θ^*– δ, θ^* + δ) покрывает неизвестный параметр θ с вероятностью γ.