2. Элементы теории вероятностей и математической статистики для решения прикладных задач метрологии
2.1. Роль, место и основные задачи математической статистики
в теории вероятностей
Одной из важнейших ветвей теории вероятностей, выделившейся в самостоятельную научную дисциплину, является математическая статистика, занимающаяся разработкой методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.
Наиболее типичными задачами математической статистики, часто встречающимися на практике, являются [1]:
1. Определение закона распределения случайных величин по статистическим данным.
2. Проверка правдоподобия гипотез.
3. Определение неизвестных параметров распределения.
Эти задачи тесно связаны с задачей оценки точности и надёжности определяемых экспериментально характеристик надёжности и поэтому выделяются в отдельный подраздел.
Любое научное исследование в области прикладных наук связано с прове-дением пассивных и активных экспериментальных наблюдений и установ-лением на этой основе научных фактов. Организация наблюдений и экспери-ментов (испытаний) должна отвечать определенным правилам. Эти правила, расчетные формулы и методы, основывающиеся на теории вероятностей, рас-сматриваются в математической статистике – науке, которая исследует методы получения необходимой информации путем специальной математической обработки массовых явлений или событий, носящих вероятностный характер, с целью их анализа и получения обобщенных характеристик.
Под массовыми явлениями или событиями понимаются такие многократно повторяющиеся элементарные явления, которые, несмотря на неизменность условий, в большей или меньшей степени отличаются друг от друга, то есть имеют случайное рассеяние, а значит, являются случайными величинами. Таким образом, математическая статистика исследует случайные явления (события) и их закономерности, выявляемые по особым правилам в ходе обработки экспериментальных наблюдений.
Результаты измерений или испытаний (экспериментов) представляют собой, как правило, ряд значений измеряемой величины, который называется часто вариационным рядом, обычно упорядоченным. Чтобы результаты испытаний сделать обозримыми и удобными для анализа, ряд упорядочивают, то есть распределяют по группам, для чего весь промежуток значений слу-чайной величины разбивают на k частей равной длины, все результаты испытаний распределяют по этим интервалам.
Количество значений случайной величины mi , попавших в каждый интервал, называется частотой; сумма всех частот равна объему
k
вариационного
ряда Σ mі
= n ; ωі
– частость.
ієΩ
Пример статистической обработки результатов эксперимента
1. Исходные данные (неупорядоченные результаты испытаний).
N1 - 30,1 ; N2 – 30 ; N3 – 26,5 ; N4 – 29,2 ; N5 – 28,5 ; N6 – 28,3 ;
N7 – 29,5 ; N8 – 29,2 ; N9 – 27,3 ; N10 – 27,5 .
2. Упорядочение и обработка исходных данных (табл.2.1)
Таблица 2.1
Вариант исходных данных
-
Характеристики
Значения случайных величин хi в эксперименте
26,5
27,3
27,5
28,3
28,5
29,2
29,2
29,5
30
30,1
Частота
1
2
2
4
1
10
Интервал возможных значений
26-27
27-28
28-29
29-30
30-31
Частость
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
1
∑хi
26,5
54,8
56,8
117,9
30,1
284,1
3. Построение полигона частот (рис.2.1)
ώ
4
3
2
1
k
26 27 28 29 30 31
Рис.2.1. Полигон частот
Затем эмпирическое распределение аппроксимируют каким-либо подходящим теоретическим распределением.
Такая совокупность называется простой статистической совокупностью. Обработка таких простых статистических рядов не очень удобна и подлежит дальнейшему усовершенствованию, одной из форм которого является построение статистической функции распределения случайной величины, представляющей частоту события F*(x)=P*(X<x). Однако при большом числе аргументов и построение F*(x) весьма трудоёмко и не очень наглядно. Поэтому часто предпочтительней использование для описания статистического распределения другой характеристики – плотности распределения f(x).
Условимся статистические характеристики обозначать теми же буквами, но снабжать их волнистой или прямой чертой над буквой или значками *(звёздочкой), как сделано выше.
Данные, характеризующие частоту появления наблюдаемых значений Х, разделённых на интервалы («разряды»), оформляются в виде наглядных гистограмм, которые при необходимости легко перестроить в приближённый график статистической функции распределения случайной величины Х.
Каждой рассмотренной числовой характеристике случайной величины Х соответствует её статистическая аналогия: для математического ожи-дания (МОЖ) – среднее арифметическое наблюдённых значений слу-чайной величины (статистически среднее случайной величины); для дис-персии – выборочная дисперсия; для числа возможных значений слу-чайной величины – число разрядов и т.п. Таким образом, задача опре-деления закона распределения случайной величины по статистическим данным не представляет принципиальных трудностей, если определены её основные характеристики. Упомянутая выше задача проверки правдо-подобия гипотез предполагает необходимость решения вопроса о согла-совании результатов экспериментов с предварительной гипотезой о подчи-нении тому или иному закону, а также умение подобрать для полученного статистического ряда теоретическую кривую распределения, выражающую лишь существенные черты данного статистического материала, но не связанного с недостаточным объёмом экспериментальных данных.
Такая задача называется задачей выравнивания (сглаживания) статистических рядов и сводится обычно к подбору теоретической плавной кривой распределения, наилучшим образом описывающей статистическое распределение. В решении практических задач, рассматриваемых в учебном пособии, наибольший интерес представляет задача математической статистики, заключающаяся в решении вопроса о согласовании теоретического и статического распределений. Для ответов на такие вопросы служат так называемые «критерии согласия». В качестве наиболее часто применяемого критерия согласия можно привести «критерий х2 Пирсона».