6.3. Анализ алгоритмов измерения вероятностных характеристик и рекомендации по уменьшению погрешностей

Особенности алгоритмов измерения вероятностных характеристик,

их аппаратной реализации в различных устройствах статистической обработки информации (СОИ) вносят свою долю погрешности в оценки параметров . Так как их теоретические значения обычно заранее неизвестны, рекомендуется производить вычисления в два этапа. Вначале алгоритмы реализуются при сравнительно малых выборках N, а затем полученные грубые оценки параметров подставляются в формулу оценки вероятности попадания оценки в доверительный интервал ( ), содержащий в себе достоверную, но неизвестную характеристику Z с вероятностью . Потом по заданному значению определяют дополнительное значение N, необходимое для оценки статистических характеристик с заданной погрешностью. В заключение основной алгоритм реализуется для найденного значения N.

И, наконец, следует отметить, что экспериментально-статистическую обработку случайных процессов можно проводить двумя путями, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки:

1. предварительно находить , а затем определять оценки вторых моментов;

2. определять оценки начальных моментов, а величину учитывать в конце.

В первом случае, если , возможно появление погрешностей оценок , хотя если предусмотреть центрирование процесса, оценка погрешности дисперсии центрированного весьма незначительна.

При вычислениях по второму алгоритму погрешности при использовании различных выборок и центрирования в конце измерений могут быть несколько больше и даже достигать недопустимо больших размеров, если перед вычислением вторых моментов не производить хотя бы грубое центрирование.

В итоге можно сделать вывод, что при измерении статистических характеристик по одной и той же выборке центрирование до вычисления или учет в конце вычислений по статистической точности равноценны.

Пособие рассчитано в основном на студентов младших и средних курсов. Читатели, заинтересованные в более глубоком изучении рассматриваемых вопросов, в частности погрешностей стохастических методов измерений и вычислений математического ожидания, начальных моментов, дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности, могут найти ответы на интересующие их вопросы в [1,3,6,12].

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Точечные оценки неизвестных параметров распределения

Пусть плотность случайной величины ξ имеет вид

.

В ряде задач параметры могут оказаться неизвестны, например МОЖ a или СКО б, или и a и б.

Пусть ξ имеет распределение P_ξ(X, Ө), где Ө – неизвестно. Для его оценки надо обратиться к эксперименту (из n независимых опытов).

Тогда – выборка объема n из генеральной совокупности распределения с плотностью вероятности P_ξ(X, Ө).

Если принять все проекции экспериментов независимыми, то

Когда испытания завершены, получим вектор

По этим результатам необходимо построить приближенное значение для неизвестного параметра ,

где x_i – некоторое число (после испытаний), ξ_i – некоторая случайная величина (до испытаний).

Из бесконечного множества оценок надо отобрать лучшие в некотором смысле.

Определение

Оценка несмещенная, если М =0.

Метод наибольшего правдоподобия (НП)

Будем смотреть на не как на совокупность переменных, а как на совокупность некоторых результатов измерений, а на не как на неизвестную константу, а как на независимую переменную, меняющуюся в области изменения своих переменных, т.е. будем иметь дело с , называемой функцией правдоподобия [ 12].

В качестве оценки применяется то значение независимой переменой θ^*=θ^*(x₁,x_2,…,x_n), при котором функция правдоподобия принимает свое наибольшее значение, то есть Оценку θ^* называют оценкой наибольшего правдоподобия.

Отсюда - уравнение правдоподобия.

Для упрощения вводят логарифмическую функцию правдоподобия - на основании того, что – функция монотонная, max её совпадает с Затем находят производную , приравнивают её к нулю и решают полученное уравнение правдоподобия. Найденную точку максимума принимают в качестве оценки наибольшего правдоподобия параметра θ^*.

Примеры

Оценка НП для нормального закона

а) известно, - ?

;

,

где С– постоянная;

Отсюда ,

– оценка несмещенная.

б) известно, – ?

– оценка несмещенная.

в) – ?, – ?

; – оценка несмещенная.

, то есть оценка смещенная.

Последняя задача оценки двух неизвестных параметров решается более просто методом моментов для точечной оценки [12].

Оценка НП в законе Пуассона

– параметр λ – непрерывный, k – дискретный.

Пусть – результаты измерений,

– целые числа.

Рассмотрим не плотность (т.к. закон дискретный), а аналог ее:

– оценка несмещенная.

Свойства оценок НП при больших значениях n

1) Состоятельность.

По теореме Чебышева для любого ε

ε ε

θ

     + 

2) Асимптотическая нормальность – каким бы ни был закон распределения параметра , случайная величина имеет закон распределения, неограниченно приближающийся к нормальному с параметрами и

Тогда

3) Асимптотическая несмещенность

при

Метод максимума апостериорной плотности вероятности.

Пусть – случайная величина (например, размер линейки), по которой имеются результаты прошлых измерений. – априорная плотность вероятности .

- результаты измерений, т.е. имеем

Тогда

где P_() – априорная плотность, P( /) – функция правдоподобия, P(/ )– апостериорная плотность . Отсюда имеем

Таким образом, чтобы найти оценку параметра , нужно найти то значение аргумента , при котором апостериорная плотность вероятности как функция принимает наибольшее значение.

Приложение 2