5. Оценка надёжности информационных систем по экспериментальным статистическим данным

5.1. Определение законов распределения наработки на отказ

При определении любых вероятностных характеристик важное значение имеет правильный подбор вида теоретического закона распределения случайной величины. Каждым из известных стандартных распределений, таких как экспоненциальное, нормальное, Вейбулла и др., охватывается довольно узкий круг эмпирических распределений. Эти законы хорошо изучены и с достаточной точностью описывают функции распределения случайных величин различного класса.

Существуют в то же время универсальные методы выравнивания статистических рядов. Например, имеется специально разработанная система кривых Пирсона, которые зависят в общем случае от четырех параметров. При выравнивании этих кривых параметры выбираются с таким расчетом, чтобы сохранить первые четыре вида статистического распределения (математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый моменты).

Практика показала, что с такими функциями работать довольно сложно, а результаты выравнивания не всегда бывают положительными. Поэтому лучше выбрать некоторый круг стандартных распределений и по какому-либо критерию находить функцию, наиболее точно согласующую теоретический и статистический законы распределения.

Практически подавляющее большинство статистических распределений можно описать одним из пяти стандартных распределений:

1) нормальным

,

где х – возможное значение случайной величины Х; f(х) – функция плотности распределения; m – математическое ожидание; D – дисперсия;

2) логарифмически-нормальным

,

где а₁, b₁ – параметры закона распределения;

3) гамма-распределением

,

где Г(а₂) – гамма-функция а₂;

4) распределением Вейбулла

;

5) равномерным распределением

0 при x < b₄ и x > a₄;

___1___

а₄ – b₄

при b₄ ≤ x ≤ a_{4 .}

Оценки математического ожидания m и дисперсии D случайной величины Х (время безотказной работы или время восстановления) вычисляются по формулам

_;

где х₁, х₂, …,х_i,…,х_n – совокупность n результатов наблюдений над случайной величиной Х. Оценки параметров а₁,…,а₄ и b₁,…,b₄ стандартных законов распределения вычисляют подстановкой найденных оценок и в выражение параметров теоретических распределений через математическое ожидание и дисперсию[8,11] (см. табл. 5.1).

Экспериментальная оценка надежности может быть получена по экспериментальным данным об отказах. Эта статистика собирается в процессе эксплуатации или в результате специальных испытаний на надежность системы. Показатели надежности систем могут быть вычислены по данным об отказах элементов или систем в целом. Это наиболее полная и достоверная оценка, так как аппаратура находится в реальных условиях работы. Теоретические же методы дают приближенную оценку ожидаемого уровня надежности.

Таблица 5.1

Оценка параметров стандартных законов распределения

Закон распределения	Расчетная формула
	Для первого параметра	Для второго параметра
Логарифмически-нормальное
Гамма-распределение
Распределение Вейбулла	Решить относительно параметра а3
Равномерная плотность распределения