3.4. Спектральное разложение стационарной случайной функции

Между характером корреляционной функции и внутренней структурой соответствующего ей случайного процесса существует определённая связь [1], проявляющаяся в преобладании тех или иных частот в его составе, то есть в его спектре. Спектром любого колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд сигнала по различным частотам. Особенностью спектра стационарного случайного процесса является то, что амплитуды колебаний будут случайными величинами и сам спектр описывает распределение дисперсий по различным частотам. Случайная функция Χ^˚(t) на интервале (0,T) может быть представлена в виде канонического разложения [1]

_∞

Χ^˚ (t)=∑(U_kcos w_kt+V_ksin w_kt),

^k=0

где U_k, V_k–некоррелированные случайные величины с МОЖ, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом k: D[U_k]=D[V_k]=D_K.

Дисперсии D_K определяются по формулам [1,12]

_T

D₀=1/T∫ k_x(τ)d τ ;

⁰

_T

D_K=2/T∫ k_x(τ) cos w_k τ d τ при k≠0.

⁰

Разложение такого рода называется спектральным разложением. Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот w_k, причём амплитуды этих колебаний являются случайными величинами, а именно – дисперсиями. Легко показать [1,12], что дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник её спектрального разложения. При рассмотрении случайной функции на бесконечном отрезке времени спектр дисперсий трансформируется в плавную кривую S_X(w), изображающую плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра, а сама функция S_X(w) называется спектральной плотностью дисперсии или спектральной плотностью стационарной случайной функции Χ^˚(t). Дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник её спектрального разложения, то есть

∞

D_X=∫ S_X(w)dw.

⁰

Таким образом, дисперсия и спектральная плотность выражаются одна через другую, а с помощью преобразований Фурье устанавливается и взаимосвязь спектральной плотности с корреляционной функцией [1,13]

∞

S_X(w)=2/π ∫ k_x(τ) cos w τ d τ.

⁰

При этом взаимосвязь спектральных плотностей входа и выхода средства измерения с передаточной функцией W(jw) выражается как [13]

Sg(w)= ׀ W(jw)׀² S_X(w).

Тогда дисперсия шума на выходе, характеризующая динамическую погрешность средства измерения:

∞

σ_y ²=1/2π∫ ׀ W(jw)׀² S_X(w)dw.

⁰

Использование аппарата спектральной теории стационарных случайных процессов облегчает решение задач, связанных с анализом и синтезом информационных систем, оценкой динамических погрешностей и определением путей и способов их уменьшения.

Более подробно и аргументированно данные вопросы изложены в главах 17[1] и 2 [13].

4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЁЖНОСТИ

ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

4.1. Особенности определения вероятностных характеристик

при оценке надежности информационных систем

При проектировании и эксплуатации ИС используются аналитические и экспериментальные методы оценки надёжности систем и их элементов. Основной задачей аналитического расчета надежности ИС является определение показателей безотказности и ремонтопригодности. Расчет складывается из 6 этапов:

1. определение критериев, видов отказов и состава показателей;

2. составление структурной (логической) схемы расчета надежности;

3. выбор метода оценки надежности;

4. получение математической модели функционирования и отказов элементов и системы в целом;

5. подбор данных по показателям надежности элементов;

6. выполнение расчета и анализ результатов.

К наиболее характерным показателям надежности ИС относятся:

• интенсивность отказов;

• средняя наработка до отказа системы;

• вероятность ее безотказной работы за заданное время.

Аналогичные показатели используют и для элементов.

Взаимосвязь надежности и метрологических показателей двояка. С одной стороны, метрологические показатели устанавливают для ИС, их измерительных систем и средств измерений определенные допустимые погрешности, не позволяющие вызывать увеличение статистической ошибки, ухудшение переходных процессов, снижение степени их затухания и т.п. С другой стороны, современные метрологические средства, исполняемые в дискретном цифровом виде, позволяют более эффективно в реальном масштабе времени выявлять отклонения от нормальных в случайных процессах вычислений и принимать своевременные оперативные меры по их предотвращению и повышению безотказности.

Наиболее ответственный этап оценки надёжности ИС – составление структурной (надёжностно–функциональной) схемы расчета, которая представляет графическое отображение элементов системы и связей между ними, позволяющее однозначно определять работоспособное или неработоспособное состояние системы по аналогичным состояниям ее элементов. Таких элементов может быть очень много, и ошибки в определении их надежности могут приводить к недопустимым погрешностям в оценке надежности ИС в целом [14].

Подбор характеристик надежности элементов часто бывает затруднителен из-за сильно отличающихся условий эксплуатации. Поэтому исходные данные для их расчёта зачастую приходится определять по аналогам. Но даже при одинаковых условиях эксплуатации и режимах работы неизбежны погрешности в определении показателей надежности элементов в результате ошибок измерений их свойств (характеристик) как случайных величин статистическими методами. Чаще всего с такими ошибками измерений случайных величин приходится сталкиваться при расчёте показателей безотказности, для которых свойственны исчерпывающие характеристики случайных величин – так называемые законы распределения: функция и плотность распределения.

Основными показателями безотказности ИС и их элементов являются:

• функция распределения F(t)=P{T<t};

• функция надежности P(t)=P{T≥t}=1-F(t);

• плотность распределения наработки до отказа f(t)=dF(t)/dt;

• интенсивность отказов (t)=f(t)/P(t);

• вероятность отказа системы до момента t1: Q(t1)=F(t1)=P{T<t1};

– вероятность безотказной работы системы до момента t1: P(t1)=P{T≥t1};

• среднее время безотказной работы (средняя наработка до

отказа) ;

• среднеквадратическое отклонение: ;

где Р{T<t}– вероятность случайного события, заключающегося в том, что наработка до отказа Т будет меньше некоторой заданной наработки t; D[T] – дисперсия.

Кроме указанного выше вероятностного определения на основе аналитических методов эти показатели при наличии статистических данных имеют статистические определения, базирующиеся на методах экспериментальной оценки, используемых при испытаниях на надежность. Тогда они определяются по формулам:

;

;

;

;

;

;

;

,

где N – количество одинаковых элементов, поставленных на испытания;

N(t) – количество элементов, отказавших к моменту t, т.е. на интервале (0,t);

N(t) – количество элементов, отказавших на интервале t=(t₁,t₂);

N(t₁) – количество элементов, отказавших на интервале (0,t₁);

t_i – наработка до отказа i-го элемента.