Вправи для самостійного виконання:

1. Побудувати графіки функцій та дослідити їх:

у=2х4-х2+3

y=3cos(x)+x y=2|x|-x2 y=sin(2x)+2sin(x) y=-x5+2x2+3 у=3х5-5х3+2

ІІ. Задача. Обчислити площу між графіками функцій та

ІІI. Задача. Обчислити площу, обмежену лініями:

1. х=-3; х=3; у=0; у=log₂(x+3.7)+⅓sin(2x²)+2

2. y=2+sin(х²), y=5-х²

3. y=|х²-3|, y=0, x=-3, x=3

4. , ;

5. , ;

6. , .

ІV. Розв’язати одну з задач.

Задача 1. Вісь параболоїда обертання проходить через центр кулі, їх поверхні перетинаються по двох колах. Обчислити об’єм тіла, обмеженого цими двома поверхнями (всередині кулі і поза параболоїда).

Задача 2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням сегмента функції y=sin(x)-cos(x), де х є [-2.5; 4].

Задача 3: Обчислити об’єм тіла, що обмежене поверхнею, утвореною обертанням кривої у=x/3+cos(2x)+2 навколо осі Ох, в межах від х₁=-3.14 до х₂=3.14.

Задача 4. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями, що утворюються обертанням навколо осі Оу графіків двох функцій у₁=x, у₂=х²-2 та прямими х=0, х=2.

Задача 5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох відрізка прямої у=2 для х в межах від -3 до 3.

Задача 6. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кола радіуса 2 з центром в точці (0, 3).

Задача 7. Знайти об’єм зрізаного конуса, утвореного обертанням навколо осі Оу трапеції, обмеженої лініями у=0, у=3, у=4-2х, х=0.

Задача 8. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями, що утворюються обертанням навколо осі Оу кривої у=2^х та прямих у=0,5, у=4.

Задача 9. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями у=4-/х-4/, у=0, х=3, х=5.

Задача 10. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями у=6-х, у=х+5, х=1, х=2.

Задача 11. Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кривої у=2+cos(sin(9x)) в межах від х=-4 до х=4.

V. Розв’язати одну з прикладних задач.

Задача 1. Маємо квадратний лист заліза із стороною а. Треба в кожному куті його відрізати такі квадрати, щоб після згинання країв отримати ящик найбільшої місткості.

Задача 2. Маємо 40 м дротяної сітки. Слід огородити три сторони прямокутної ділянки землі, де четверта сторона примикає до стіни будинку. Які повинні бути розміри ділянки, щоб її площа була найбільшою? Довжина стіни будинку дорівнює 30 м.

Задача 3 . Складається електричний ланцюг з двох паралельно з'єднаних опорів. При якому співвідношенні між цими опорами опір всього ланцюга буде максимальний, якщо при послідовному з’єднанні цих опорів він дорівнює r?

Задача 4. Вартість (за годину) утримання баржі складається з двох частин: вартості палива, яка пропорційна до куба швидкості баржі, і вартості амортизації баржі (заробітна плата команди, облад­нання та ін.). Загальна вартість утримання баржі за годину, таким чином виразиться формулою: S=aV³+b, де V – швидкість судна в км/год, a, b коефіцієнти, задані для кожного судна.

Визначити при якому V загальна сума утримання на 1 км шляху буде найменшою, якщо a=0.005, b=40.

Задача 5. Відомо, що міцність балки з прямокутним поперечним перерізом прямо пропорційна до довжини основи перерізу і квадрата його висоти. Знайти розміри поперечного перерізу найміцнішої балки, яку можна випиляти з круглої колоди діаметра d, коли поперечний переріз балки вписаний в переріз колоди.

Задача 6. Визначити розміри циліндричної закритої консервної банки, об’єм якої V см³, щоб її поверхня була найменшою, тобто щоб витрати жерсті на її виготовлення були найменші.

Задача 7. Кількість електрики, що протикає через поперечний переріз провідника починаючи з моменту часу t=0, задається формулою q=21t³+15t²-11t+17. Знайти величину сили струму в момент часу t=3.

Задача 8. Дві з’єднані ракети рухались прямолінійно за законом S=V₀t+at²/2. Через 2 години одна з ракет відділилась і продовжувала рухатися за інерцією. В який момент часу і яку постійну швидкість слід надати цій ракеті, щоб вона, рухаючись рівномірно, наздогнала першу ракету у момент часу t=8 год від початку руху і при цьому ці ракети мали б однакові швидкості? Навести геометричну інтерпретацію задачі.

З адача 9. Профіль мосту має форму параболи з висотою центральної частини 10м і довжиною основи 120м (рис.7.1). Яким повинен бути нахил насипу на кінцях мосту?

Задача 10. В поживне середовище вносять популяцію з 1000 бактерій. Кількість членів популяції зростає за законом , де t вимірюється в годинах. Знайти швидкість зростання популяції і максимальний розмір популяції.

Задача 11. Два тіла рухаються прямолінійно відповідно за законами x(t)=4t²-3t+1 i x(t)=t²+7t-2. Визначити швидкості цих тіл у момент, коли їх координати однакові.

З адача 12. Електрична лам­поч­ка переміщується (наприклад, на блоці) уздовж вертикальної прямої ОВ (рис.7.2). На якій відстані від горизонтальної площини слід її розмістити, щоб в точці А цієї площини освітленість була найбільшою (ОА=а)?

З адача 13. Основа складу, який має форму квадрата зі стороною а і дахом у формі половини кругового циліндру (рис. 7.3), тримається за рахунок підвище­ного тиску повітря все­ре­дині приміщення. Вирішили збільши­ти площу долівки за рахунок збільшення тільки однієї сторони квадрата. Яку сторону слід збільшити – AD чи DC, щоб найменше змінити загальний об’єм складу?

Задача 14. Довжина стержня змінюється зі зміною температури за законом l=l₀+0.001t+0.0001t². Знайти коефіцієнт лінійного розширення при t=5˚ C.

Задача 15. Посудина з вертикальною стінкою і висотою h стоїть на горизонтальній площині. На якій глибині слід розмістити отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою? Швидкість рідини, що витікає за законом Торрічеллі, дорівнює , де х – глибина розміщення отвору, g – прискорення вільного падіння.

З адача 16. Опір балки прямокутного перерізу на горизонтальне згинання пропорційний добуткові ширини балки на квадрат її висоти. Обчислити розміри найбільш міцної балки (тобто ширину та висоту її поперечного перерізу), яку потрібно виготовити з циліндричної колоди, якщо її діаметр дорівнює d лінійних одиниць (рис. 7.4). Припустимо, що для отримання проектного запасу міцності при неправильному укладанні витратили 2100 балок. Обчислити економію коштів за рахунок правильного укладання балок, якщо вартість 1 балки 2гр.85к.

Задача 17. Швидкість зміни доходу та видатків підприємства після початку його діяльності визначається наступними формулами:

, де D(t) – загальний доход, вимірюється в млн. гр.

, де V(t) – загальні видатки, вимірюються в млн. гр.

t – час існування підприємства, вимірюється у роках.

Визначити, як довго підприємство залишиться прибутковим? Знайти загальний прибуток, одержаний за цей час.

Задача 18. Щоб сніданок був корисним, він повинен містити не менше 6 умовних одиниць (ум.од.) жирів, 16 ум. од. білків, 12 ум. од. вітамінів. Господарка переконалася, що із наявних в магазині продуктів тільки 2 види подобаються членам її сім’ї. Вона вирішила їх придбати, попередньо визначивши, що в 1 кг продуктів першого виду міститься 2 ум. од. жирів, 2 ум. од. білків, 3 ум. од. вітамінів, а в 1 кг продуктів другого виду – 2 ум. од. жирів, 4 ум. од. білків та 2 ум. од. вітамінів. скільки їй потрібно купити продуктів кожного виду, забезпечивши при цьому найбільшу кількість жирів, білків та вітамінів, щоб витримати на покупку найменше грошей, якщо 1 кг продуктів першого виду коштує 2 грошові одиниці, а 1 кг продуктів другого виду – 3 гр.од? Господиня має тільки 20 гр.од.

Перелік літератури:

1. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики. Посібник для вчителів. – К.: Техніка, 1997. – 303 с.: іл.

2. Жалдак М.І. Педагогічний потенціал комп’ютерно-орієнтованих систем навчання // Нові технології навчання. Наук.-метод. зб. – К.: Наук.-метод. Центр вищої освіти, 2004. – спецвипуск. – С. 6-12.

3. Зайцева Т.В. Використання сучасних інформаційних технологій при вивченні теми “Похідна і її застосування” у курсі алгебри та початків аналізу у 10 класі середньої школи: Методичні рекомендації. – Херсон : Айлант. – 2000. – 68с.

4. Смалько О.А. Комп'ютерна підтримка вивчення просторових об'єктів на уроках математики в старшій середній школі// Комп'ютерно-орієнтовані системи навчання: Зб. наук. праць /Редкол. – К.: НПУ ім. М.П. Драгоманова. – Випуск 3. – с.122-133.

7