X. Знайти множини розв'язків систем лінійних нерівностей:

1 . 2.

3.

Тема: Використання програми GRAN1 на уроках алгебри та початків аналізу.

Питання

1. Побудова січних та дотичних до графіків функцій.

2. Обчислення визначених інтегралів. Обчислення об’ємів та площ поверхонь тіл обертання

3. Розв’язування прикладних задач.

Обладнання. Програма GRAN1 на базі персонального комп’ютера типу IBM PC.

Теоретичні відомості

Обчислення площ довільних фігур

Задача. Знайти площу фігури, яка обмежена вісю ординат, графіком функції у=х²+1 і дотичною до цього графіка, яка паралельна прямій у=3х-2.

Розв’язування. Скориставшись послугами Об’єкт/Створити програми Gran1, введемо послідовно дві функції у=х²+1 та у=3х-2 на проміжку [-5;5], а використовуючи пункт Графік/Побудувати будуємо графіки поданих функцій. Для кращого подання графіків доцільно змінити масштаб за допомогою послуг Графік/Масштаб - наприклад, встановити MinX=-5, MaxX=5, MinY=-4, MaxY=10.

В загальному вигляді рівняння дотичної до графіка функції має вигляд у=кх+b. На підставі того, що дотична паралельна прямій у=3х-2, робимо висновок - кутовий коефіцієнт дотичної к=3. Звернемо увагу, що графіки функцій у=х²+1 та у=3х-2 не мають спільних точок. Для знаходження вільного члена і враховуючи, що дотична і графік функції у=х²+1 мають спільну точку, дорівнюємо: 3х+b=х²+1. Розв’язавши це рівняння, знайдемо b=-5/4. Абсциса точки дотику знаходиться з умови 3х-5/4= х²+1, звідки х=1.5.

Знаючи рівняння дотичної у=3х-5/4, з використанням послуг Операції/Дотична будуємо пряму. Потрібну площу знайдемо як різницю двох інтегралів за допомогою послуг Операції/Інтеграли/Інтеграл, вказавши межі інтегрування: від 0 до 1.5. Шукана площа заштриховується і на екрані з’явиться шукане числове значення S=1.128515625 (рис.2.1).

Обчислення об’ємів тіл обертання

Задача. Вісь циліндра проходить крізь центр кулі. В результаті перетину поверхні циліндра і поверхні кулі утворюється два тіла: всередині кулі і всередині циліндра та всередині кулі поза циліндром. Відомо: радіус кулі r=2см та висота циліндричного отвору h=3.5см. Знайти об’єм тіла всередині кулі поза циліндром.

Р озв’язування. Скориставшись послугами програми GRAN1, побудуємо півколо радіуса 2 з центром в початку координат . Центр циліндричного отвору та початок координат співпадають, тому абсциси точок перетину кулі та циліндричного отвору дорівнюють: -1.75 та 1.75. На осі Ох слід встановити курсор в точку з абсцисою х=1.75, перемістити курсор вертикально вгору. В результаті одержимо . Будуємо пряму , за допомогою якої ми реалізуємо циліндричний отвір. Для цього звертаємось послідовно до послуг: Об’єкт/Створити та Графік/Побудувати. Пряму будуємо на проміжку від –1.75 до 1.

Встановимо MinX=-5, MaxX=5, MinY=-5, MaxY=5 за допомогою послуг Графік/Масштаб. Для обчислення шуканого об’єму звернемось до послуг Операції/Інтеграли/Об’єм та площа тіла обертання,вісь ОХ , і вкажемо межі інтегрування a=-1.75, b=1.75. В результаті одержимо V=23.854153925 (рис.2.2).