2.8 Гиперболические функции.

Гиперболический косинус .

Используя формулу , обозначим: , тогда получим:

, то есть является суперпозицией двух функций. В результате последовательного отображения , а затем отображения получаем отображение, осуществляемое функцией .

В частности, функция конформно отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость (рис. 19).

Отметим, что , , , , связаны между собой известными выражениями. Например, функция конформно отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость .

В самом деле: и следует выполнить сначала преобразование (поворот относительно точки на угол по часовой стрелке), а затем отобразить функцией . В результате получим отображение (рис. 20).

Тогда , полагая , получим, что функция конформно отображает полуполосу на верхнюю полуплоскость (рис. 21).

Гиперболический синус .

Воспользуемся формулой . Преобразование - это поворот вокруг точки на угол против часовой стрелки. Если осуществить такой поворот для полуполосы , а затем применить преобразование , то получим преобразование указанной полуполосы в верхнюю полуплоскость, производимую функцией (рис. 22).

. - функция конформно отображает полосу

на единичный круг . Это отображение удовлетворяет условиям . Преобразуем выражение следующим образом : .

Тогда, отображение можно рассматривать как суперпозицию трёх отображений: , , .

Последовательное выполнение этих трёх преобразований приводит к искомому отображению.

Первые два преобразования переводят заданную полосу в полуполосу , а дробно-линейное преобразование , , переводит эту полуплоскость на круг .

2.9 Степенная функция , - целое число.

Для наглядности рассмотрим сначала функцию (11). Функция однолистна в области , если эта область не содержит ни одной пары точек, симметричных относительно точки . Функция однолистна в верхней полуплоскости , или в нижней полуплоскости .

Пусть , тогда луч расположен в верхней полуплоскости и при отображении (11) этот луч переходит в луч . Тогда, если луч на плоскости опишет верхнюю полуплоскость, его образ опишет всю плоскость . При этом, лучи и перейдут соответственно в лучи и , которые геометрически совпадают друг с другом на положительной действительной полуоси. Для обеспечения однозначности отображения на границе области проводят в плоскости по положительной полуоси разрез и считают, что луч

отображается на верхний берег разреза, а луч - на нижний берег разреза. Таким образом, функция (11) однолистна в верхней полуплоскости и отображает эту область на плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси (рис. 24).

Функция однолистна и в нижней полуплоскости и отображает эту область на плоскость с разрезом вдоль положительной полуоси (рис. 24). При этом луч переходит в верхний берег разреза, а луч переходит в нижний берег разреза.

При отображении правая полуплоскость переходит в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси. Левая полуплоскость также переходит в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

Итак, функция взаимно однозначно переводит:

а) луч в луч ;

б) дугу окружности , где в дугу окружности ;

в) кольцевой сектор – в кольцевой сектор;

г) прямые , - в параболы (12) и

соответственно. (13)

Здесь и .

При этом, параболы (12) и (13) пересекаются под прямым углом и любой прямоугольник в плоскости функцией отображается на криволинейный четырёхугольник, ограниченный дугами парабол (12) и (13).

Полученные выводы легко обобщить на степенную функцию . (14)

Отображение, осуществляемое функцией , является конформным на всей плоскости, кроме точек и . Так как , то при и - конформность нарушается. Для обеспечения однолистности отображения следует разбить плоскость на секторов, так как с помощью функции (14) углы увеличиваются в раз. Угол отображается взаимно однозначно на всю плоскость с разрезом по положительной части действительной оси, причём лучу соответствует верхний берег разреза, а лучу - нижний берег разреза. Такое же отображение получим для каждого сектора , на которые плоскость разбивают лучи , - целое число. При этом при отображении сектора , на плоскость с разрезом лучу соответствует верхний берег разреза, а лучу - нижний берег разреза. Из полученных листов формируют поверхность Римана, склеивая листы определённым образом.