
- •Основные понятия и определения.
- •Отображения, осуществляемые основными элементарными функциями.
- •Линейная функция.
- •Функция .
- •Дробно-линейная функция.
- •Показательная функция .
- •Логарифмическаяая функция .
- •2.6 Тригонометрические функции.
- •2.7 Функция Жуковского.
- •Отображение окружностей функцией Жуковского.
- •2.8 Гиперболические функции.
- •2.9 Степенная функция , - целое число.
- •2.10 Функция . (15)
- •2.11 Обобщённая степенная функция . (18)
- •2.12 Отображение луночек.
- •§1. Конформные отображения. Основные понятия и определения.
- •§2. Отображения, осуществляемые основными элементарными функциями.
Показательная функция .
Производная
функции
не
обращается в ноль ни в одной точке
комплексной плоскости
.
Отображение, осуществляемое показательной
функцией, конформно на всей плоскости
,
во всякой конечной точке. Выделим
действительную и мнимую части функции
:
,
.
-
функция периодическая с чисто мнимым
периодом
.
Функция однозначна, но многолистна, так
как обратная ей функция
бесконечнозначна. Функция
отображает прямоугольник плоскости
,
определяемый неравенствами
,
на сектор плоскости
,
определяемый неравенствами
(Рисунок
7) .
Рассмотрим задачу: во что преобразуется полуполоса
с
помощью функции
?
Решение.
Положим
,
.
Так
как, по условию,
,
,
то
,
.
Очевидно,
точки
,
удовлетворяющие этим условиям, заполняют
всю плоскость
,
вне круга
с разрезом по оси
при
.
Обходим
контур
в отрицательном направлении так, чтобы
область
оставалась справа: сначала по пути
,
далее по пути
,
и по пути
.
плоскости
будут соответствовать участки
,
при
этом участок
совпадает с верхним, а участок
- с нижним краями разреза.
Совершенно
аналогично можно показать, что полуполоса
с помощью функции
преобразуется в круг единичного радиуса
с разрезом по оси
при
.
,
,
,
так что
,
.
Обход области
совершаем в положительном направлении,
область
остаётся слева.
0
Тогда
показательная функция отображает всю
полосу
на всю расширенную плоскость
с разрезом вдоль положительной полуоси
(рис.10).
Логарифмическаяая функция .
Определяется, как обратная к показательной.
Главное
значение логарифма, которое мы и будем
рассматривать, соответствует главному
значению аргумента
и определяется формулой
.
Тогда
,
то есть функция
аналитическая во всех конечных точках
при
,
то есть отображение
конформно во всех точках
.
Так как
и
,
то точки
являются точками разветвление функции
.
Отметим, что любое число обходов вокруг
точки
не приведёт вновь к первоначальной
ветви функции
.
Такие точки разветвления называются
логарифмическими.
Функция осуществляет отображение, обратное функции .
В
частности, функция
отображает верхнюю полуплоскость
плоскости
на горизонтальную полосу шириной
,
то есть на полосу
(рис. 11).
0
U
Плоскость
с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси от точки
до точки
отображается функцией
на полосу
плоскости
(рис. 12).
Когда
точка
пробегает по нижнему берегу разреза
от
до
,
то в плоскости
соответствующая точка опишет линию
от точки
до точки
,
.
Когда
точка
пробегает по верхнему берегу разреза
от
до
,
то в плоскости
соответствующая точка опишет линию
от точки
до точки
,
.
При этом область
и область
остаются справа.
2.6 Тригонометрические функции.
-
бесконечнолистная
функция комплексной переменной
,
периодическая с действительным периодом
.
Для
любого комплексного числа
:
,
.
Отсюда
следует, что прямую
плоскости
функция
отображает в ветвь гиперболы
(2)
на плоскости
.
Функция
отображает вертикальную полуполосу
шириной
плоскости
,
определяемую неравенствами
на верхнюю полуплоскость плоскости
бесконечнолистная
функция комплексной переменной
,
периодическая с действительным периодом
.
Для
любого комплексного числа
:
,
.
Отсюда следует, что прямую плоскости функция отображает в ветвь гиперболы
на
плоскости
.
При
прямая
переходит в правую ветвь гиперболы, а
прямая
- в левую ветвь гиперболы.
Все
гиперболы софокусны и их фокусы лежат
в точках
на действительной оси. Прямая
отображается на мнимую ось
плоскости
,
а прямые
и
- в лучи
и
на действительной оси
плоскости
.
При этом, если точка
пробегает
по прямой
,
то соответствующий луч в плоскости
пробегается дважды. Тем самым функция
осуществляет взаимно-однозначное
отображение полосы
плоскости
на плоскость
с разрезом по лучам действительной оси
и
.
При этом верхняя полуполоса
переходит в нижнюю полуплоскость
,
а нижняя полуполоса
переходит в верхнюю полуплоскость
(рис.14).
Таким
образом, функция
отображает нижнюю полуполосу
на верхнюю полуплоскость
(рис. 15).