2. Отображения, осуществляемые основными элементарными функциями.

   1. Линейная функция.

Линейная функция - это функция, заданная формулой , где и - постоянные комплексные числа . Линейная функция осуществляет конформное отображение расширенной плоскости на расширенную плоскость . При любом справедливо равенство .

Линейная функция определена на всей комплексной плоскости , является однозначной и при однолистной, так как обратная к ней функция также однозначна (при ).

Частные случаи.

1. Пусть . . При таком отображении все точки заданной в фигуры смещаются в направлении вектора на величину . Это преобразование – параллельный перенос. Размеры фигур при этом сохраняются (рисунок 4).

2. .

1. Пусть - действительное положительное число.

Тогда , .

−векторы всех точек сохраняют своё направление, но все они растягиваются в раз, если , и сжимаются в раз, если .

2. Пусть – комплексное число.

Тогда . При этом радиусы-векторы всех точек фигуры, заданной в плоскости поворачиваются на на угол , линейные размеры фигуры увеличиваются в раз (при ) , то есть происходит поворот фигуры и её растяжение.

с) В общем случае линейная функция осуществляет три преобразования: поворот, растяжение (сжатие), параллельный перенос. Прямая преобразуется в прямую, окружность – в окружность.

Пример 3. В какую линию преобразуется окружность

линейной функцией ?

Решение. .

Следовательно, , или .

Подставим полученные выражения переменных и в уравнение окружности: . Упростим и получим формулу

- окружности в плоскости .

Ответ: При отображении исходной окружности заданной линейной функцией получили окружность . При этом происходит поворот на 45 градусов против часовой стрелки, растяжение в раза и сдвиг на вектор .

2. Функция .

Выделим действительную и мнимую части:

. Тогда , .

Определение. Точки и называются симметричными относительно окружности , если:

1. они расположены на одном луче, выходящем из центра окружности;

2. Произведение .

Для центра О окружности симметричной точкой относительно является бесконечно удалённая точка. Если центр единичной окружности находится в начале координат, и одна из точек изображает комплексное число , то симметричная ей точка соответствует числу .

Преобразование состоит из двух симметричных отражений: относительно единичной окружности и относительно действительной оси (см. рисунок 5). Такое преобразование называют инверсией.

Из двух простых преобразований следует:

1. , - отражение относительно оси OX.

2. , , – отражение относительно единичной окружности.

Таким образом, при отображении ; .

Окружность единичного радиуса отображается в окружность единичного радиуса: если , то .

Внутренние точки единичного круга отображаются во внешние точки такого же круга, то есть если , то , если , то .

Точка отображается в бесконечно удалённую точку , и если , то

Окружность с центром в начале координат отображается в окружность с центром в начале координат: если , то

.

Окружность с центром в любой точке отображается в окружность, если она не проходит через начало координат. Если окружность проходит через начало координат, то она отображается в прямую линию (окружность бесконечного радиуса), так как точка отображается в бесконечно удалённую точку .

Прямая, не проходящая через начало координат, преобразуется в окружность, проходящую через начало координат. Прямая, проходящая через начало координат, отображается в прямую, проходящую через начало координат.

Точки и являются для функции неподвижными.

Пример 4. Найти образ окружности при отображении .

Решение. Так как центр заданной окружности расположен в начале координат, то преобразованием она отображается в окружность . Тогда искомый образ будет

Или, так как , , то .

Ответ: образом окружности является окружность .