Конформные отображения.

1. Основные понятия и определения.

Определение 1. Отображение окрестности точки плоскости на окрестность точки плоскости , осуществляемое функцией , называется конформным, если в точке оно обладает свойством сохранения углов между двумя линиями и постоянством растяжений в малом.

Z0

W0

Это значит, что:

1. При отображении угол между касательными к кривым и в плоскости равен углу между касательными к их образам, кривым и в плоскости , то есть (рис. 1);

2. Если в плоскости взять бесконечно малый круг с центром в точке , то ему соответствует бесконечно малый круг в плоскости с центром в точке , то есть конформное отображение обладает свойством консервативности углов и подобия в малом.

Определение 2. Функция называется однолистной в области , если различным точкам в области соответствуют различные значения функции . Например, линейная функция однолистна, а функция

- двулистна, так как любым двум значениям и с противоположным знаком соответствует одно и то же значение w. Например, , . i.

Общие положения теории конформных отображений.

Теорема Римана. Существует аналитическая функция , отображающая взаимно однозначно и конформно односвязную область плоскости на область плоскости , если только ни одна из этих областей не совпадает со всей плоскостью с одной выколотой точкой или со всей расширенной плоскостью. При этом имеется бесконечное множество функций, осуществляющих аналитическое и конформное отображение области на область . Для обеспечения единственности отображения функции требуется выполнение одного из трёх условий:

1. Точка области перешла в заданную точку области линия, выходящая из точки повернулась на заданный угол α.

2. Точка области и точка границы перешли соответственно в точку области и в точку границы .

3. Три граничные точки области перешли в три граничные точки области .

. При этом, если при движении по границе от точки к через точку область остаётся слева (справа), то при движении по границе L от точки к через точку область также должна оставаться слева (справа).

Принцип взаимно однозначного соответствия границ.

Пусть - аналитическая функция, заданная в области , которая ограничена гладким или кусочно-гладким контуром и отображает этот контур на некоторый контур L области . Пусть точка z обходит контур так, что область остаётся слева, и соответствующая точка w обходит контур так, что область остаётся слева. Тогда область отобразится на область взаимно однозначно и конформно.

Принцип симметрии.

Пусть область , содержащая в структуре своей границы некоторый прямолинейный отрезок γ (конечный или бесконечный), отображается функцией на область так, что γ переходит в прямолинейный отрезок Г, входящий в границу области (рис. 2). Пусть и - соответствующие прямые, построенные на этих отрезках. Тогда справедливо утверждение: если функция аналитическая в области , во всех внутренних точках отрезка γ, то эта функция аналитическая и в области , симметричной с относительно отрезка γ (и прямой ) и обладает тем свойством, что любые две точки и , (из которых одна лежит в : ), симметричные относительно , отображаются в две точки и , симметричные относительно .

Во многих частных случаях для построения отображения некоторой линии , заданной в плоскости , на линию плоскости поступают следующим образом:

а) Полагают , и подставляют в выражение .

б) Из этого выражения, выделяя действительную и мнимую части справа, получают систему , из которой выражают (если это возможно) и через и : .

в) Подставляя эти выражения в уравнение заданной линии , получают уравнение её образа - относительно переменных и .

0

Пример 1. В области , ограниченной контуром , задана функция ;. В какую область перейдёт при отображении функцией ?

Решение. Пусть , . Тогда

.

Следовательно, , или .

Подставив полученные выражения в уравнение контура , получим:

Окончательно: .

Ответ: область , ограниченная контуром , отображается функцией

в круг (рисунок 2а).

Пример 2. На какую область функция отображает полуполосу: ?

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции:

. Или

.

Тогда,

По первому условию,

Полученная система описывает множество точек, расположенных в правой полуплоскости UOV и вне окружности с центром в точке радиусом .

По второму условию задачи, - это множество точек, расположенных в нижней полуплоскости UOV. Решением задачи будет пересечение полученных областей.

Ответ: полуполоса отображается в область, изображённую на рисунке 3.