3.1.3. Приведение начальных моментов

Рассмотрим начальные моменты β-того порядка (2.16) для кривых и :

(3.13)

(3.14)

Преобразуем (3.14) с помощью (1.3) и (3.12):

(3.15)

Сравнивая (3.15) и (3.13), мы получим формулу для приведения начальных моментов в параметрические координаты

(3.16)

Необходимо обратить внимание на тот факт, что приведение начальных моментов в параметрические координаты осуществляется с помощью среднего времени пребывания определённого методом моментов, а не по формулам (1.3).

3.1.4. Вычисление центральных моментов

В соответствии с уравнением (2.21) для центрального момента β-того порядка можно записать так:

(3.17)

Найдем соотношение между центральным и начальным моментами на примере момента второго порядка:

(3.18)

Очевидно, что

(3.19)

Подставляем уравнения (3.19) в (3.18), тогда

(3.20)

Произведя аналогичные преобразования для остальных центральных

моментов, получим

(3.21)

(3.22)

(3.23)

3.1.5. Приведение центральных моментов

В соответствии с уравнением (2.21) для центрального момента β-того порядка в параметрических координатах можно записать

(3.24)

Преобразуем (3.24) с помощью (1.3) и (3.12):

(3.25)

Сравнивая (3.25) с (3.17), получим

(3.26)

3.2. Ступенчатое возмущение

Рассмотрим последовательность анализа функции отклика исследуемого аппарата на ступенчатое возмущение. При таком испытании организуется подача жидкости в аппарат и в момент =0 включается дозировочный насос, подающий раствор трассера в поток жидкости на входе. Через некоторое время (зависящее от объёма аппарата и расхода жидкости) на выходе из аппарата начинают отбирать пробы жидкости для определения концентрации трассера.

Результатом испытания аппарата на ступенчатый ввод трассера является интегральная F-кривая (см. рис.2,б; рис.5,а,б; рис.13). Расчет начальных моментов β-того порядка кривой осуществляется по уравнению

(3.27)

а для функции распределения, заданной таблично, по уравнению

(3.28)

Расчет центральных моментов осуществляется по формулам, приведенным в разделе 3.1.

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТРУКТУРЫ ПОТОКОВ

Идеальные модели

4.1. Модель идеального смешения

Основным допущением модели идеального смещения является мгновенное распределение входящего вещества по всему объему аппарата за счет стохастического движения частиц. Таким образом, концентрации веществ и температура на входе в аппарат претерпевают скачок: исходные значения параметров потока, мгновенно смешивающегося с содержимым аппарата, соответственно мгновенно изменяются до параметров в объёме аппарата. Такой режим движения жидкости в аппарате называется квазистационарным, он достигается при большой скорости вращения мешалки, наличии в аппарате отражательных перегородок и, в случае проточных аппаратов смешения, относительно малом объемном расходе жидкости (рис.3). Этот режим приводит к тому, что концентрация вещества одинакова по всему объему аппарата

(4.1)

Модель идеального смешения - модель с сосредоточенными параметрами, так как концентрация любого вещества, не только трассера, является только функцией времени , и не является функцией пространства:

(4.2)

(4.3)

Уравнение модели в дифференциальном виде

(4.4)

Проверка аппарата на идеальность гидродинамического режима при импульсном вводе трассера осуществляется по уравнению

(4.5)

а при ступенчатом вводе трассера по преобразованному уравнению (2.14)

(4.6)

Кривые отклика проточного аппарата идеального смешения представлены на рис.17, а и б. Примером проточного аппарата со структурой потоков близкой к модели идеального смешения является химический реактор с турбинной мешалкой при относительно небольшом расходе жидкой фазы, а примером периодически действующего - бытовой миксер.