2.3. Распределение частиц потока по времени пребывания в аппарате

Очевидно, что вероятность выхода каких-либо частиц из аппарата за промежуток времени от до выразится уравнением

, (2.9)

а для верхнего предела [ ] -

(2.10)

Функцию называют интегральной функцией распределения времени пребывания. Она определяет вероятность того, что время пребывания некоторой частицы окажется меньше . Проинтегрируем уравнение (1.4):

(2.11)

т.е. вероятность того, что некоторая частица когда-нибудь выйдет из аппарата, равна 1.

В тех случаях, когда начальная концентрация трассера на входе в исследуемый объект при импульсном возмущении не может быть определена экспериментально, она может быть вычислена по следующему выражению:

(2.12)

Функции и связаны и обратным соотношением

(2.13)

Функцию еще называют C-кривой или кривой вымывания трассера из аппарата при импульсном возмущении. Функцию называют F-кривой или кривой разгона при ступенчатом возмущении. Их графическая интерпретация представлена на рис.12 и 13.

Рис.12. Кривая отклика аппарата на импульсный ввод трассера. 1 - возмущающий сигнал (ввод трассера); 2 - функция отклика (выход трассера с потоком жидкости)

Параметрическая концентрация трассера при ступенчатом возмущении вычисляется по формуле

(2.14)

где c_о - концентрация трассера на входе в аппарат.

Рис.13. Кривая отклика аппарата на ступенчатый ввод трассера. 1 - возмущающий сигнал (ввод трассера); 2 - функция отклика (выход трассера с потоком жидкости)

2.4. Основные характеристики распределений

Известно, что закон распределения случайной величины полностью определяет случайную величину. Однако, результаты испытаний аппаратов на импульсный и ступенчатый ввод трассера обычно представлены в виде таблиц и соответствующих C- и F-кривых. Для сравнения разных аппаратов, с различными внутренними устройствами, испытываемых в различных режимах и анализа структуры потоков в них, принято выражать характерные особенности случайных величин при помощи числовых характеристик, называемых моментами случайной величины. Моменты распределения полностью характеризуют само распределение, следовательно, ими можно пользоваться для сопоставления распределений без сравнения соответствующих кривых.

К л а с с и ф и к а ц и я м о м е н т о в

Моменты систематизируются по трем признакам:

по порядку момента β;

по началу отсчета случайной величины;

по виду случайной величины.

Порядок момента β может быть любой целой величиной. Практическое применение имеют моменты нулевого, первого, второго, третьего и четвертого порядков, т.е. β =0, 1, 2, 3, 4.

По началу отсчета случайной величины моменты могут быть начальными и центральными. По виду - для дискретных и непрерывных величин.

Для дискретной случайной величины начальный момент β-того порядка определяется формулой

(2.15)

для непрерывной случайной величины

(2.16)

Начальный момент нулевого порядка или нулевой начальный момент

(2.17)

Он характеризует площадь, находящуюся под кривой распределения.

Начальный момент первого порядка или первый начальный момент характеризует математическое ожидание (среднее значение) случайной величины. Математическое ожидание определяет положение центра, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины. Оценка математического ожидания для дискретной случайной величины определяется формулой

(2.18)

для непрерывной случайной величины

(2.19)

Примечание: в формулах (2.18) и (2.19) знак "≈" поставлен потому, что в результате эксперимента получают выборку из совокупности и в этом случае начальный момент первого порядка будет являться одной из возможных оценок математического ожидания (см. также Среднее, среднее значение).

Поскольку математическое ожидание M_x определяет центр группирования случайной величины, в точку M_x переносят начало координат. Случайные величины, отсчитываемые от центра группирования M_x, называются центрированными, а моменты центрированной случайной величины - центральными.

Центральный момент β-того порядка для дискретной случайной величины определяется формулой

(2.20)

для непрерывной случайной величины

(2.21)

Очевидно, что нулевой центральный момент и выражает площадь под кривой распределения.

Первый центральный момент - математическое ожидание центрированной величины равно нулю.

Второй центральный момент характеризует рассеивание случайной величины относительно среднего значения и называется дисперсией, обозначаемой . Для дискретной случайной величины

(2.22)

для непрерывной

(2.23)

Из теории вероятности известно, что плотность распределения вероятностей случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, описывается уравнением

(2.24)

где - математическое ожидание случайной величины; - генеральная дисперсия или дисперсия совокупности. Эти два параметра полностью определяют местоположение и форму кривой Гаусса. Нормальное распределение важно и теоретически наиболее глубоко разработано, поэтому экспериментально полученные распределения принято с ним сравнивать. Для сравнения экспериментального распределения и более полного его описания применяют моменты высших порядков.

Третий центральный момент характеризует скошенность или асимметрию распределения

(2.25)

Безразмерный асимметрии коэффициент вычисляется по формуле

(2.26)

Для нормального распределения (рис.14).

Рис.14. Асимметричное распределение вероятностей случайной величины: 1 - кривая с положительной асимметрией; 2 - кривая с отрицательной асимметрией; 3 - кривая нормального распределения

Четвертый центральный момент характеризует "крутость" распределения, т.е. островершинность или плосковершинность распределения

(2.27)

Безразмерный коэффициент, описывающий эти свойства, называется эксцессом:

(2.28)

В уравнении (2.28) число 3 вычитается потому, что для распределения Гаусса отношение Следовательно, для нормального распределения эксцесс (рис.15).

Рис.15. Плотности вероятностей симметричных распределений: 1 - островершинное распределение; 2 - нормальное распределение; 3 - плосковершинное распределение

Вышеприведенные моменты случайной величины позволяют сравнить экспериментальное распределение с теоретическими законами распределениями (нормальным, биномиальным, гамма-распределением, геометрическим, Коши, Лапласа, Максвелла, Паскаля, Пирсона , Пуассона, Рэлея, показательным, равномерным, хи- квадрат и другими) и в результате сравнения установить закон изучаемого явления. Применительно к исследованию гидродинамики потока в технологических аппаратах анализ моментов распределения частиц потока по времени пребывания в аппарате позволяет определить наличие струйного течения, эффекта проскальзывания, коэффициент продольного перемешивания, выявить наличие и объём застойных зон, и, в конечном итоге, определить действительную структуру потоков в аппарате.