3. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

Положим, что на заряженную частицу вдоль оси ОX действует ещё электрическое поле электромагнитной волны , лежащее в плоскости XOY и изменяющееся с частотой ω. Следовательно заряд находится под действием периодической силы и совершает вынужденные колебания. В случае совпадения частот вращения заряда

ω_С = (e/m)B₀

и частоты электромагнитной волны ω – возникает циклотронный (диамагнитный) резонанс. В этом случае частица набирает энергию за счёт волны, и двигается по раскручивающейся траектории – рис.1.3.

Рис. 1.3.

Пример 1.4 Рассмотрим циклотронный (диамагнитный) резонанс. Дано:

Граничные точки интервала, на котором ищется решение

Количество точек, в которых ищется решение

Встроенная функция пакета MathCad для решения дифференциальных уравнений

Траектория движения y(x) частицы в плоскости XOY

Задания:

1. В электрическое поле с распределением потенциалов влетает заряженная частица q/m =1. При t = 0 частица имеет координаты x₀ = y₀ = z₀ = 1, а вектор скорости параллелен оси Z: v_Z = 1м/c. Рассчитать для заданного интервала времени зависимость координат, и скорости частицы от времени. Определить траекторию движения частицы.

№ варианта	1, 6, 11	2, 7, 12	3, 8, 13	4, 9, 14	5, 10, 15

№ варианта	16, 21, 26	17, 22, 27	18, 23, 28	19, 24, 29	20, 25, 30

2. В магнитное поле с векторным потенциалом влетает заряженная частица q. При t = 0 частица имеет координаты x₀ = y₀ = z₀ = 1, а скорость параллельна оси Z: v_Z = 1м/c. Рассчитать для заданного интервала времени зависимость координат, и скорости частицы от времени. Определить траекторию движения частицы.

№ варианта	1, 6, 11	2, 7, 12	3, 8, 13	4, 9, 14	5, 10, 15

№ варианта	16, 21, 26	17, 22, 27	18, 23, 28	19, 24, 29	20, 25, 30

3. Рассмотреть циклотронный резонанс начальная скорость заряда:

м/с,

где N – номер варианта.

Указания: Воспользоваться формулами ,

Практическая работа №2 Исследование электростатического поля при заданном распределении зарядов

Для заданного распределения зарядов в пространстве задача определения поля в общем случае сводится к решению уравнения Пуассона:

,

где ρ – плотность заряда,

- оператор Лапласа (записан для декартовой системы координат),

- напряженность электрического поля.

Для решения уравнения Пуассона с помощью пакета MathCAD предназначена функция relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации.

Уравнение Пуассона может быть сведено к уравнению в конечных разностях

где коэффициенты

,

f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри некоторой области

u – квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области.

rjac – параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1 (оптимальное значение выбирают в зависимости от деталей задачи).

Необходимо отметить, что решение уравнения Пуассона (численное или аналитическое) требуется в тех случаях, когда заряды распределены сложным образом в пространстве. В простейших случаях, например определение поля точечного заряда, диполя, заряженной плоскости и т.д., достаточно воспользоваться законом Кулона, принципом суперпозиции, теоремой Гаусса.

Пример 2.1. Определим поле точечного заряда в вакууме с помощью пакета MathCAD. Дано:

Потенциал:

,

где r – сферический радиус

Построим эквипотенциальные линии в плоскости XOY. Тогда имеем:

Построим векторное поле линий напряжённости:

Используем функции комплексной переменной:

Пример 2.2. Определим поле точечного заряда в вакууме с помощью уравнения Пуассона. Задаём область:

Функция распределения заряда по области:

Коэффициенты уравнения:

Граничные значения функции на краях области и начальные приближения:

Получим:

Построим векторное поле линий напряжённости

Пример 2.3. Определим поле двух точечных зарядов.