1.3.8. Преобразование Мелина

Одномерное преобразование Мелина определяется соотношением

= ,

где – комплексная переменная, и если для некоторого k > 0 имеет место соотношение

,

то функция

f (x) (8.7)

является обратным преобразованием Мелина для любого c > k. Интегрирование в (8.7) ведется вдоль прямой, лежащей на комплексной плоскости и проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии c от нее. Величина постоянной c определяется характером подынтегральной функции g(a)x^-a: путь интегрирования должен проходить правее особых точек (полюсов) этой функции. Добавлением к прямой c i¥ дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур и произвести контурное интегрирование.

Двумерное преобразование Мелина определяется аналогично:

g(a, b ) ,

где ia и ib - мнимые аргументы.

Преобразование Мелина обладает важным для оптики свойством – модуль этого преобразования некоторой функции инвариантен по отношению к изменению масштаба данной функции, точно так же, как фурье-образ некоторой функции инвариантен относительно ее сдвига. В обоих случаях в преобразование вводится постепенное линейное изменение фазы, или фазовый наклон. Это свойство позволяет использовать преобразование Мелина в анализе линейных оптических систем, не являющихся пространственно-инвариантными, и при восстановлении изображения после неоднородного смаза.. Применяя преобразование Мелина к оптическим системам, функция рассеяния которых не изменяет своей формы, но меняется соответствующим образом лишь ее величина, мы получаем систему, которую можно анализировать с помощью линейного метода, инвариантного к сдвигу. Совместное применение преобразований Фурье и Мелина позволяет создать оптические корреляторы, нечувствительные не только к сдвигам, но также и к изменению масштаба между объектом и опорным сигналом.

1.3.9. Преобразование Дирака и преобразование отсчетов

Соотношение

f (x, y) = f (x, y)*d (x, y) = ,

известное как фильтрующее свойство дельта-функции, называется интегральным преобразованием Дирака для свертки. Функцию можно рассматривать как «дираковский образ». В результате преобразования Дирака исходной функции получается значение исходной функции для заданного значения аргумента. Совокупность таких значений определяет исходную функцию. Как видим, дираковский образ состоит из последовательности d- функций, умноженных на значение исходной функции в соответствующих точках. Преобразование Дирака описывает идеализированную операцию сканирования или развертки сигнала вдоль координат x и y с помощью бесконечно острого луча.

В одномерном случае преобразование Дирака определяется как

f (x) = .

Если вместо d-функции Дирака ввести интегральное ядро вида

= a sinc(a x)×b sinc(b y), (8.8)

то получим интегральное преобразование

S(x, y) = ,

называемое преобразованием отсчетов. Это название связано с тем, что ядро вида (8.8) в оптике называют двумерной функцией отсчетов. В одномерном случае преобразование отсчетов

S(x) = ,

т.е. является сверткой функции f (x) с функцией . При a ® ¥ и b ® ¥ функция отсчетов стремится к d-функции а преобразование отсчетов переходит в преобразование Дирака, поэтому оба эти преобразования очень похожи друг на друга. Отличие преобразования отсчетов от преобразования Дирака состоит в том, что в этом преобразовании функция f (x, y) сканируется не бесконечно узким лучом, а лучом, размытым вдоль координат x и y; происходит процесс сглаживания исходной функции. При преобразовании отсчетов происходит отображение средних значений исходной функции на некотором интервале.

Преобразование отсчетов используется для обрезания или сужения спектра пространственных частот исходного сигнала f(x, y).

Преобразование отсчетов можно рассматривать как обобщение теоремы Котельникова, называемой также теоремой отсчетов. Согласно этой теореме, любую функцию f(x), имеющую ограниченный спектр пространственных частот (от u = 0 до некоторого максимального значения u = u_c), можно разложить в ряд по ортогональным функциям y(x), причем коэффициенты разложения с_m являются дискретными значениями функции f (x), взятыми через интервал Dx = 1 / 2u_c, т.е.

f (x) = , (8.9)

где c_m = f(mDx) – значения функции f (x) в точках x = mDx = m / / 2u_c,

y_m(x) = = sinc[2u_c(x - mDx)], |m| = 0, 1, 2, …

Для доказательства этой теоремы рассмотрим простейший одномерный сигнал с ограниченной полосой частот, у которого спектральная плотность g(u) равна постоянной величине 1 / 2u_c в интервале частот от – u_c, до u_c и нулю вне этого интервала, т.е.

Используя обратное преобразование Фурье, находим этот сигнал:

y₀(x) = =

= sinc(2u_cx).

Функция y₀(x) = sinc(2u_cx) имеет максимальное значение, равное единице; в точках x = m / 2u_c, |m| = 1, 2, 3, … она равна нулю. При смещении этой функции вдоль оси X на целое число интервалов Dx = 1 / 2u_c получаются функции

y_m(x) = y₀(x - mDx) = sinc[2u_c(x - mDx)],

ортогональные друг другу, т.е.

= 1 / 2u_c при m = n

и = 0 при m ¹ n.

Это свойство функций y_m(x) позволяет использовать их в качестве базиса. Поэтому любую функцию f (x) со спектром, заключенным в полосе частот от 0 до u_c, можно представить в виде ряда Котельникова (8.9). Для определения коэффициентов разложения c_m положим x = nDx = n / 2u_c, где n – целое число. Тогда получим

f (x) = = sinc(n – m).

При m ¹ n это выражение равно нулю, а при m = n – единице. Отсюда получаем c_m = f (mDx). Теорема Котельникова доказана.

Обозначим период, соответствующий наивысшей частоте u_c через l_c, т.е. положим В этих обозначениях коэффициенты разложения можно записать в виде . Таким образом, функция с ограниченным спектром полностью определяется своими значениями, взятыми через интервал Dx = l_c / 2.

Используя условие ортогональности, из (8.9) можно получить выражение для энергии сигнала:

.

Хотя суммирование в ряде Котельникова ведется в бесконечных пределах, в действительности число значений функции f(x) ограничено и определяется длиной сигнала L и шириной его полосы частот u_c:

N = L / Dx = 2L / l_c = 2Lu_c.

При N >> 1 погрешность от перехода к конечному пределу суммирования невелика, т.е. в интервале 0 £ x £ L функция f(x) полностью определяется N выборками из нее. От числа N зависит количество информации, содержащееся в данном сигнале f(x) (точнее от N + 1, так как число точек на единицу больше числа интервалов). В оптике в качестве периода l_c принимают размер наиболее мелкой детали l_min, а в качестве длины сигнала L – длину транспаранта.

Для двумерного сигнала f (x, y) ряд Котельникова имеет вид

f (x, y) = sinc[2u_c(x - mDx)]∙

∙ sinc[2v_c(y - nDy)],

где u_c и v_c – граничные частоты по соответствующим переменным x и y.

Теорема Котельникова имеет важное значение в теории сигналов и в оптике. На ее основе любой непрерывный сигнал может быть со сколь угодно высокой степенью точности преобразован в дискретный.