1.3.5. Преобразование Френеля

Значение преобразования Френеля в оптике тесным образом связано с явлением дифракции Френеля. Примером преобразования Френеля является зонная пластинка Френеля.

В своем основном виде двумерное преобразование Френеля определяется следующим образом

Ф(x, y) =

= (8.5)

где f(x, y) – исходная функция, а Ф(x, y) – ее френелевский образ. Мы видим, что двумерное преобразование Френеля представляет собой просто двумерную свертку функции f(x, y) с экспоненциальной фазовой функцией

Z(x, y) = exp [ip s (x ² + y ²) / l],

представляющей собой двумерную функцию Гаусса с мнимым комплексно сопряженным аргументом и называемой функцией Френеля. Интегральное преобразование Френеля какой-либо функции можно рассматривать и как свертку этой функции с зонной пластинкой Френеля. Каждая точка области задания функции размывается при этом в картину зон Френеля. Можно считать, что при преобразовании Френеля исходная функция представляет собой сумму большого числа последовательно смещенных френелевских картин. Величина каждой составляющей картины находится посредством умножения функции на соответствующую френелевскую картину и интегрирования. Таким образом, при преобразовании Френеля каждое значение функции f (x, y) в точке (x, y) размывается функцией Френеля, а затем все непрерывно смещенные картины Френеля суммируются.

Френелевский образ функции f (x, y) можно найти и по формуле

Ф(x, y) = f (x, y)*Z(x, y) = ,

где F(u, v) – фурье-образ функции f (x, y), Z(u, v) – фурье-образ функции Френеля:

Z(u, v) = =

.

При получении этого результата была использована формула (6.21) для , , . Как видим, фурье-образ функции Френеля в координатах пространственных частот u, v равен функции Френеля в координатах x, y, умноженной на комплексный коэффициент . Аналогичным свойством обладает лишь двумерная функция Гаусса фурье-образ которой равен самой функции Гаусса.

Преобразование Френеля, как и преобразование Фурье, дает однозначное представление функции, являясь операцией, допускающей восстановление исходной функции при повторном, или обратном преобразовании Френеля. Обратное преобразование также имеет вид свертки

f (x, y) =

= .

В обратном преобразовании аргумент фазовой функции Френеля заменяется на комплексно сопряженный. Заметим, что при преобразовании Френеля, которое является сверткой, все операции производятся в обычном координатном пространстве. Этим оно качественно отличается от преобразования Фурье, в результате которого преобразуемая функция превращается в ее частотно-спектральный образ, заданный в пространстве фурье-координат, или пространственных частот. В преобразовании Френеля параметр s в большинстве случаев интерпретируется как кривизна сферических волновых фронтов.

Сравнивая интеграл суперпозиции в приближении Френеля (6.19), записанный в виде

,

с выражением (8.5), видим, что этот интеграл представляет собой двумерное преобразование Френеля с ядром преобразования

h(x,y) = ,

являющимся, как мы увидим ниже, импульсным откликом слоя свободного пространства в приближении Френеля. Кривизна сферического волнового фронта где z – толщина слоя свободного пространства.

Таким образом, можно констатировать, что поле в ближней зоне при дифракции плоских волн можно определить с помощью двумерного преобразования Френеля. Если амплитуда Е₀ падающей волны в плоскости апертуры постоянна, то в силу соотношения поле в плоскости X¢Y¢, расположенной в ближней зоне, можно определить с помощью преобразования Френеля от апертурной функции . Видим также, что в приближении Френеля интеграл суперпозиции представляет собой свертку функции распределения комплексной амплитуды поля в плоскости непосредственно за апертурой с импульсной характеристикой свободного пространства в приближении Френеля.

По известному распределению E(x¢, y¢) с помощью обратного преобразования Френеля

E(x, y) =

=

можно восстановить распределение поля в плоскости непосредственно за апертурой.

Между преобразованиями Френеля и Фурье существует тесная связь, обусловленная тем, что первое преобразование воспроизводит дифракцию Френеля, а второе – дифракцию Фраунгофера. Различие между обоими преобразованиями зависит только от расстояния, при котором проявляются оба типа дифракции. Связь между этими преобразованиями проще всего установить в одномерном случае. Воспользовавшись преобразованием Фурье, будем иметь:

F(x ) = =

.

Отсюда видно, что фурье-образ F(x) функции f(x) получается путем умножения функции f(x) на функцию exp(-ipx²), применения к полученному результату преобразования Френеля и последующего умножения на функцию . Это соотношение позволяет представить преобразование Фурье с помощью операций умножения и свертки. При этом каждое из этих действий может быть осуществлено с помощью соответствующей оптической системы.

Преобразование Френеля играет важную роль не только при описании дифракции Френеля, но и при описании свободного распространения когерентных оптических полей. Оно используется в оптике так же часто, как и преобразование Фурье. Использование обоих интегральных преобразований обусловлено тем, что пространство изменяет распространяющиеся в нем световые волны согласно этим преобразованиям. Распространение света между элементами оптической системы (например, между линзами в оптической системе формирования изображения) также можно описать с помощью преобразования Френеля (или свертки с фазовым множителем, являющимся импульсной характеристикой слоя свободного пространства). Преобразование Френеля применяется и при исследовании голограмм Френеля и анализе систем воспроизведения с апертурами, кодированными зонной пластинкой.