Фазовый множитель

Опущен, так как он не влияет на распределение поля в плоскости Xy. Подставляя выражение в исходное соотношение (11.9) и учтя, что получим

E (x, y ) =

или

= .

Мы получили выражение, почти совпадающее с выражением (10.27), если в нем заменить величины с индексом 1 на величины со штрихом, а z на a. Оно показывает, что в задней фокальной плоскости линзы с точностью до множителей перед интегралом формируется фурье-спектр распределения поля в плоскости предмета. Заметим, что если предметная плоскость совпадает с передней фокальной плоскостью линзы, т.е. если a = f, то фазовый множитель перед интегралом обратится в единицу и мы получаем точное преобразование Фурье на пространственных частотах

u = x / ( f ), v = y / ( f ).

Таким образом, идеальная элементарная оптическая система позволяет получать одновременно и пространственный спектр, и изображение сигнала. В плоскости изображения формируется изображение входного сигнала, а в фокальной плоскости линзы – его спектр.

Рассмотрим теперь случай, когда предмет находится в передней фокальной плоскости линзы, т.е. когда a = f, а наблюдение распределения поля производится на произвольном расстоянии b от него. Проведя расчеты, подобные предыдущим, в предположении P = 1, для этого случая получим

=

= .

Несущественный фазовый множитель здесь опущен. Распределение поля в плоскости наблюдения

=

.

В этом случае, в отличие от предыдущего, не существует однозначного соответствия между наблюдаемыми и исходными точками объекта или его спектра. Преобразуем это выражение, подставив в него обратное преобразование Фурье функции E(x, y), получим

=

+

,

где учтено, что k = 2 /.

Внутренний интеграл, который мы обозначим через I, можно вычислить. Используя формулу (9.21) при значениях параметров

, , ,

будем иметь

.

Учитывая это, находим

=

.

Сравнивая полученное выражение с выражением (5.12), которое в приближении когда

,

можно записать в виде

=

= .

Мы видим, что они аналогичны и с точностью до фазовых множителей перед интегралами эти выражения совпадают при условии, что

(11.16)

Используя это совпадение, можно записать

=

Теперь также наблюдается однозначное соответствие поля изображения с преобразованным полем предмета. Преобразование состоит в том, что изменяется масштаб поля предмета по осям X и Y в раз и оно проходит путь в свободном пространстве, определяемый величиной (11.16). Эта величина может быть больше или меньше нуля в зависимости от того, будет ли расстояние b меньше или больше фокусного расстояния линзы f.

Можно показать, что эти два рассмотренных случая (a = f и a′ = f ) включают в себя все остальные случаи, в том числе и случай, когда расстояния a и b удовлетворяют формуле линзы.

6.7. Образование изображения при когерентном освещении как двойное преобразование Фурье

Покажем, что комплексная амплитуда светового поля в плоскости изображения связана с комплексной амплитудой в плоскости предмета через два преобразования Фурье (прямого и обратного). Для этого рассмотрим снова процесс образования изображения элементарной оптической системой. Как и прежде, будем считать линзу неограниченной, поэтому интегрирование будем проводить в бесконечных пределах.

Световое поле в плоскости непосредственно перед линзой определится сверткой функции предмета E(x, y) с импульсным откликом свободного пространства перед линзой:

E₁( )= =

=

. (11.17)

В конечном выражении фазовый множитель одинаковый для всех точек ( ) и учитывающий только набег фазы при распространении света от плоскости предмета до плоскости линзы, опущен. Интеграл (11.17) представляет собой преобразование Фурье от функции E(x, y)exp на пространственных частотах

Введем обозначение

F = F .

С учетом этого для поля непосредственно за линзой можно записать выражение

E₁( ) = E₁( ) exp =

= F exp =

= F ,

где учтено также, что в соответствии с формулой линзы

1 / a – 1 / f = 1 / a′.

Поле в плоскости изображения определится сверткой функции E₁( ) с импульсным откликом второго свободного пространства:

= =

=

=

В этом выражении фазовый множитель опущен как не влияющий на распределение амплитуды поля в плоскости XY

Перейдем к новым переменным

Тогда

=

Интеграл в этом выражении является обратным фурье-преобразованием функции Учитывая свойство фурье-преобразований и заменив в функции f (x, y) = E(x, y) exp переменные x, y соответственно на получим

=

=

= =

= ,

где  = a′ / a – коэффициент увеличения линзы. При получении этого выражения мы снова учли формулу линзы и что k = 2 /. Квадратичный фазовый множитель определяет фазовые искажения изображения. При

указанный фазовый множитель можно положить равным единице, и тогда

= .

Мы снова пришли к выражению (11.14).

Тем самым мы показали, что распределение комплексной амплитуды в изображении представляет собой двойное преобразование Фурье:

= F^-1{F{E(x, y)}t(x, y)}.

Это можно проиллюстрировать и на эквивалентной оптической схеме, приведенной на рис. 10.2. Амплитуда волны в задней фокальной плоскости первой линзы равна фурье-образу амплитуды в плоскости предмета, а амплитуда волны в плоскости изображения в свою очередь является фурье-образом амплитуды волны света в задней фокальной плоскости первой линзы. Процесс образования изображения можно рассматривать и как последовательность двух процессов дифракции Фраунгофера, описываемой преобразованием Фурье.