6.4. Искажение изображения при распространении света в свободном пространстве

Пусть транспарант с изображением произвольного предмета освещается нормально падающим на него монохроматическим пучком света, например от системы лазер – расширитель пучка, создающей когерентное освещение плоской волной. Если между транспарантом и расположенным за ним экраном имеется только свободное пространство, то сходство между предметом и его изображением на экране будет весьма приблизительным, причем с увеличением расстояния все труднее в картине на экране уловить сходство с оригиналом. При распространении света в свободном пространстве теряется сходство между наблюдаемыми оптическими картинами в плоскости наблюдения (экран) и предметной плоскости (транспарант). Выясним причину этого явления.

Изображение предмета в плоскости XY будет определяться распределением интенсивности, а значит, и амплитуды светового поля в этой плоскости. Это поле может быть получено как сигнал на выходе слоя пространства, непосредственно примыкающего к плоскости транспаранта XY. При не слишком больших расстояниях между плоскостями XY и XY это поле определится преобразованием Френеля:

E (x, y ) =

= (11.1)

Этот интеграл свертки позволяет объяснить, почему распространение света в свободном пространстве приводит к искажению изображения. Видно, что поле E в любой точке плоскости наблюдения XY с точностью до несущественных множителей перед интегралом получается суммированием полей от всех точек (x, y) предметного поля, помноженных на фазовый множитель, квадратично зависящий от координат точек предметного поля. Наличие этого множителя и приводит к искажению изображения.

Процессы, связанные с искажением изображения в свободном пространстве, удобно рассматривать, перейдя в пространство фурье-координат или, иначе, в область пространственных частот u и v. Произведя преобразование Фурье соотношения (11.1) и учтя теорему свертки, получим

= , (11.2)

где и – фурье-образ распределения поля в плоскости предмета и плоскости наблюдения соответственно, произведение двух последних сомножителей представляет собой передаточную функцию свободного пространства в приближении Френеля. Из (11.2) видно, что действие свободного пространства приводит к изменению фазы плоских волн, достигающих плоскости наблюдения, на величину, пропорциональную квадратам пространственных частот u и v, причем это изменение будет тем больше, чем больше расстояние от плоскости предмета до плоскости наблюдения (линейный фазовый множитель на распределение частот не влияет). Это обстоятельство является определяющим для искажения изображения предмета, так как фазовые соотношения между слагаемыми плоскими волнами в плоскости предмета и плоскости наблюдения, отстоящей на расстояние z, различны. Различие фазовых соотношений приводит к различию результатов интерференции составляющих плоских волн. Поэтому результирующее распределение поля в плоскости наблюдения будет кардинально отличаться от распределения поля в плоскости предмета. Отметим, что это различие, а значит, и величина искажения изображения будут зависеть от расстояния z от предмета до плоскости наблюдения.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пусть предметом является одномерная амплитудная гармоническая решетка с функцией пропускания

где коэффициенты t₀ и t₁ удовлетворяют тем же условиям, что и в соотношении (7.1). При освещении решетки плоской волной амплитуды E₀ распределение светового поля непосредственно за плоскостью предмета (при z = 0) можно представить в виде

E(x) = E₀ t₀ + E₀ t₁ + E₀ t₁

Данному граничному условию соответствует в свободном пространстве за предметом световое поле из трех плоских волн

E(x, z) = E₀ t₀ + E₀ t₁exp[i2(ux + wz)] +

+ E₀ t₁ exp[– i2(ux – wz)].

Считая, что u << 1 / , пространственную частоту w представим в виде Тогда для поля в плоскости XY получим

E(x, z) = E₀ t₀ exp(i2 z /) + E₀ t₁ exp[i2 (ux + z / –

–  z u ²)] + E₀t₁ exp[– i2 (ux – z / +  z u ²)] =

= E₀ exp(i2 z /){t₀ + t₁ E₀exp(–i z u ²)

[exp(i ) + exp(– i )]}.

Применив к выражению в квадратных скобках формулу Эйлера, для поля в плоскости XY будем иметь

E (x, z) = E₀exp(i2 z /)[t₀ +

+ t₁exp(–i z u ²) (11.3)

Выражение (11.3) показывает, что гармоническая составляющая функции пропускания решетки на пространственной частоте u умножается на квадратичный фазовый множитель exp(–i zu²).

Распределение интенсивности в плоскости наблюдения

I (x, z)  = [t₀ ² + 2t₀ t₁

cos z u ² + t₁²

Полученное выражение отличается от распределения интенсивности в плоскости предмета

I(x, 0)  = [t₀ ² + 2t₀ t₁ +

+ t₁ ²

фазовым множителем Этот множитель равен единице при z, удовлетворяющих условию = 2 m (m = 0, 1, 2, 3,…), т.е. при

(11.4)

где d = 1 / u – пространственный период решетки. В этом случае распределение интенсивности светового поля в плоскости наблюдения будет в точности совпадать с распределением интенсивности светового поля в плоскости предмета – изображение получается полностью идентичным предмету. На расстояниях z, не удовлетворяющих условию (11.4), изображение будет в большей или меньшей степени отличаться от предмета, т.е. будет искаженным. Следовательно, если экран перемещать вдоль оси Z, изображение решетки на экране будет то появляться, то исчезать с периодичностью

Это явление, впервые описанное Талботом, называют эффектом самовоспроизведения. Заметим, что z определяется квадратом пространственного периода решетки. Это является следствием нелинейности фазовой характеристики свободного пространства по пространственным частотам u и v.

Если транспарант имеет произвольную функцию пропускания t(x), то ее можно разложить в ряд или в интеграл Фурье, т.е. представить транспарант в виде конечного или бесконечного числа гармонических решеток с различными периодами d = 1 / u. Плоские волны от каждой такой решетки, распространяясь за транспарантом, будут давать их изображения на расстояниях вдоль оси Z, определяемых формулой (11.4). Однако в общем случае за транспарантом не будет такой плоскости, где все решетки дают свои изображения в фазе – изображение предмета будет искаженным.

Таким образом, искажение изображения предмета происходит из-за тех фазовых искажений, которые появляются при распространении световых волн в свободном пространстве между транспарантом и экраном. Восстановить изображение – это значит скомпенсировать эти искажения. Такая компенсация в оптике осуществляется при помощи линз, зонных пластинок или голографическим методом. Линза с соответствующим фокусным расстоянием и соответствующим образом расположенная между предметом и экраном так воздействует на фазу световых волн, что фазовые искажения компенсируются с избытком и только действие свободного пространства за линзой приводит к восстановлению изображения. Это согласуется с тем, что, как было отмечено в предыдущем параграфе, фокусирующим, а значит, и изображающим свойством обладает линза вместе с примыкающим к ней слоем свободного пространства. Линза компенсирует таким образом действие свободного пространства между предметом и линзой и между линзой и изображением, что и отражено в формуле линзы, связывающей между собой фокусное расстояние линзы с толщинами слоев свободного пространства, расположенных перед линзой и за линзой. Однако, как мы увидим ниже, из-за конечных размеров линзы и возникающей вследствие этого дифракции на оправе линзы изображение предмета, даваемое линзой, не будет полностью идентично самому предмету. Оно будет несколько размытым, нечетким.