5.5. Оптическая передаточная функция оптической системы

Применив теорему свертки к интегралу (9.39), получим для преобразования Фурье от распределения интенсивности в выходной плоскости:

I′ (u, v) = A(u, v)I(u, v), (9.41)

где I(u, v) – преобразование Фурье от распределения интенсивности на объекте, A(u, v) – преобразование Фурье от функции рассеяния точки:

A(u, v) = . (9.42)

Комплексная функция A(u, v) пространственных частот u и v называется частотным откликом оптической системы, или оптической передаточной функцией (сокращенно ОПФ) оптической системы.

К понятию оптической передаточной функции можно прийти и рассматривая, как действует линейная по интенсивности пространственно-инвариантная оптическая система на гармонический сигнал Подставляя это выражение в (9.39) и опуская символ Re, получим

I (x, y ) = =

= . (9.43)

В полученном соотношении комплексно-амплитудный множитель A(u, v) и представляет собой ОПФ оптической системы. Это соотношение показывает, что линейная по интенсивности оптическая система действует на гармонический сигнал так же, как и оптическая система, линейная по комплексной амплитуде: гармонический сигнал на входе такой системы преобразуется в гармонический же сигнал тех же пространственных частот на выходе.

Учитывая, что F₀(x, y) = = h(x, y)h^(x, y) и используя теорему умножения для преобразования Фурье, выражение (9.42) можно переписать в виде

A(u, v) = =

= =

= H(u, v)H(– u, – v),

так как Полученная величина есть автокорреляция функции H(u, v). В символической форме ее можно записать так:

A(u, v) = H(u, v) H(u, v).

Следовательно, оптическая передаточная функция некогерентной оптической системы представляет собой функцию автокорреляции передаточной функции когерентной системы.

Согласно соотношению (9.41), частотный спектр распределения интенсивности в выходной плоскости оптической системы представляет собой произведение спектра частот распределения интенсивности по объекту на частотный отклик оптической системы. Мы видим, что каждой компоненте I(u, v) соответствует коэффициент (комплексный), на который эта компонента умножается при переходе от объекта к изображению. Функцию I(x, y) можно разложить в общем случае в интеграл Фурье, т.е. представить распределение интенсивности на объекте в виде совокупности бесконечного множества различных гармонических составляющих. Поэтому функция определяет, каким образом каждая гармоническая составляющая спектра пространственных частот распределения интенсивности на объекте передается оптической системой, т.е. как действует оптическая система в частотной области.

Как комплексную функцию ОПФ можно представить в виде

(9.44)

Здесь модуль комплексной функции, т.е. величина , характеризует изменение амплитуды каждой гармонической составляющей спектра объекта, а аргумент – изменение ее фазы. Функцию пространственных частот называют частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ) оптической системы, а функцию – ее частотно-фазовой характеристикой (ЧФХ), или фазовой передаточной функцией (ФПФ).

Соотношения (9.41) и (9.44) показывают, что действие линейной по интенсивности оптической системы на каждую гармоническую составляющую спектра объекта сводится лишь к изменению амплитуды и фазы этой составляющей.

Из выражения (9.42) непосредственно вытекают следующие свойства оптической передаточной функции.

1. A(0, 0) = 1. Это следует из того, что при u = v = 0 интеграл (9.39) превращается в интеграл нормировки функции (равен единице, соотношение (9.39)).

2. где A^(u, v) – функция, комплексно сопряженная функции A(u, v). Это следует из того, что мнимая единица i и пространственные частоты u и v входят в подынтегральную функцию (9.42) в виде произведений iu и iv, поэтому замена u на и v на эквивалентна замене i на – i, а значит, замене функции A на комплексно-сопряженную функцию A^.

3. Можно показать также, что A(u, v)  A(0, 0); ОПФ является убывающей функцией пространственных частот.

Зная ОПФ оптической системы, из (9.42) с помощью обратного преобразования Фурье можно найти функцию рассеяния точки:

F₀(x, y) = . (9.45)

В главе 11 эта формула будет использована нами для вычисления ФРТ некоторых дифракционно-ограниченных систем (идеальных систем без аберраций, в которых имеют место только дифракционные эффекты).

Таким образом, аналогично соотношению (9.8), в случае линейных по интенсивности изопланарных оптических систем вводится некогерентная передаточная функция – ОПФ. По этой причине передаточную функцию часто называют когерентной передаточной функцией (КПФ) оптической системы. По аналогии с импульсной характеристикой когерентной оптической системы для систем, линейных по интенсивности, вводится функция рассеяния точки.

Существуют различные методы теоретической оценки и экспериментального определения ОПФ, но все они достаточно сложные. Только в случае дифракционно-ограниченных оптических систем со зрачками несложной формы и в пренебрежении аберрациями задача определения ОПФ системы может быть решена аналитически. Аналитические выражения ОПФ таких систем будут получены в следующей главе.